Una propiedad de los números reales relativa a las partes enteras de los múltiplos

Question

Para un número real positivo dado $\alpha$ definan el conjunto $T_\alpha$ por $T_\alpha = \{ [n\alpha] \mid n = 1,2,\dots \}$ . ¿Qué es un necesario y suficiente condición (en términos de $\alpha$ y $\beta$ ) para tener $T_\alpha \subseteq T_\beta$ ?

Answer 1

Una respuesta parcial. Está claro que debemos considerar sólo $\alpha,\beta>1$ .

Supongamos que queremos encontrar $n$ tal que $n\in T_\beta$ , $n\notin T_\alpha$ . Es suficiente con encontrar enteros $l$ y $k$ tal que $$n\le l\beta<n+1,\qquad k\alpha<n,\quad n+1\le (k+1)\alpha,$$ o de forma equivalente $$\left\{\frac n\beta\right\}\in\{0\}\cup\left(1-\frac 1\beta,1\right),\qquad \left\{\frac n\alpha\right\}\in\left(0,1-\frac 1\alpha\right].$$ Si $\alpha$ y $\beta$ son linealmente independientes con $1$ en $\mathbb{Q}$ luego señala $\left(\big\{\frac n\beta\big\},\big\{\frac n\alpha\big\}\right)$ se distribuyen uniformemente en $[0,1)^2$ y los correspondientes $n$ existe. Así que la situación $T_\alpha \subseteq T_\beta$ sólo es posible si $c_1\alpha+c_2\beta+c_3=0$ para algunos enteros $c_1$ , $c_2$ , $c_3$ , $(c_1, c_2, c_3)\ne(0,0,0)$ .