Mi profesor me dijo que dos líneas paralelas tienen un punto de intersección, se llama Punto en el infinito. Pero no puedo entender cómo puede ser cierto o cómo se demostró, ¿puede alguien explicarme esto?
Gracias.
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sewo
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Esto es no es cierto en la geometría plana ordinaria, por lo que no se puede demostrar.
Es es cierto, más o menos, en una forma diferente de geometría conocida como geometría proyectiva Sin embargo.
Como rápida introducción intuitiva a la geometría proyectiva, imagina que estás de pie en el plano euclidiano ordinario. Tu cabeza está a unos 2 metros por encima del plano, así que cuando miras abajo ves lo que se dibuja en el plano, que se extiende hasta el horizonte. Los detalles en el plano justo donde estás te parecen grandes; los mismos detalles a gran distancia te parecerán pequeños y se verán muy cerca del horizonte.
Ahora bien, es una experiencia bastante común que si dibujamos dos líneas infinitas paralelas en un plano, cuando las miramos desde un punto por encima del plano, parecerá que se encuentran en el horizonte. Podemos deciden considerar los puntos de la línea del horizonte "igualmente reales" que los puntos del plano. El horizonte se convierte entonces en la "línea del infinito" y las líneas paralelas en el plano se encuentran realmente en un punto de la línea del infinito. Entonces, cualquier dos líneas siempre se encuentran. Toda línea en el plano se encuentra con la línea en el infinito en un punto determinado por su dirección; dos líneas en el plano con diferentes direcciones se cruzan en el propio plano, y dos líneas en el plano con la mismo dirección ambos se encuentran con la línea en el infinito en el mismo punto, y por lo tanto se encuentran allí.
Hasta ahora hay una cosa extraña sobre los puntos en el horizonte: están en el "borde del mundo", con un plano por debajo de ellos pero nada por encima. Esto es un poco desordenado, y hay dos maneras de arreglarlo. Una es simplemente decidir dibujar cosas en el cielo. Eso lleva a geometría esférica El cielo es un área de estudio antigua y venerada que constituye la base de la astronomía. Pero no es de eso de lo que trata la conferencia de hoy.
En geometría proyectiva Estamos en el plano euclidiano, pero estamos en una realidad virtual construida por un programador descuidado y/o perezoso. Cuando miramos en cualquier dirección, nuestro casco de RV calcula el infinito línea a través de nuestra cabeza en la dirección en la que miramos, y calcula dónde se cruza esa línea infinita con el plano que tenemos debajo. Lo que está en el plano es lo que vemos. Así que cuando miramos al cielo, lo que vemos es el plano que hay detrás de nuestra cabeza. Sólo cuando miramos en una dirección perfectamente horizontal este procedimiento no funciona, pero planteamos que, no obstante, hay algunos puntos a los que mirar, que forman una "línea al infinito" como antes. Como no distinguimos entre los puntos que tenemos delante y los que tenemos detrás, sólo hay 180° de horizonte en total; si giramos 180° estaremos mirando lo mismo puntos en el infinito.
(Una forma diferente de verlo es imaginar que tomamos una copia del plano euclidiano ordinario y lo elevamos para que quede suspendido 2 metros por encima de nuestra cabeza, y entonces lo giró 180° sobre un eje vertical. Obsérvese que como estamos mirando el plano del cielo desde abajo (las cosas en el cielo serán la imagen especular de la misma cosa si se da la vuelta y se mira hacia abajo en su lugar).
En la geometría proyectiva cualquier dos líneas diferentes tienen exactamente un punto en común. Si son líneas no paralelas en el plano original se cruzarán una vez en el suelo, y también veremos ese cruce en el cielo -- pero estas son sólo dos imágenes de lo mismo punto en el plano proyectivo. Dos en paralelo las líneas se cruzarán exactamente una vez en la línea del infinito -- de nuevo vemos dos imágenes de ese cruce cuando nos damos la vuelta, pero son por definición el mismo punto. Y cualquier línea en el plano cruzará la línea en el infinito una vez.
Lo principal que hace que esto sea genial es que la línea en infintity ahora tiene sin propiedades especiales . Si inclinamos la cabeza y nos olvidamos de cuál es el camino hacia arriba y hacia abajo, hay de ninguna manera podemos deducir, a partir de las propiedades geométricas de lo que vemos, en qué dirección se encuentra el "verdadero" horizonte. La geometría proyectiva trata de las propiedades de las figuras que son invariantes de girando nuestra visión del mundo. También se trata de propiedades de las figuras que no cambian cuando caminamos por el plano o acercamos (o alejamos) la cabeza del mismo. Por lo tanto, tampoco tiene ningún concepto de escala o distancia.
Ambos movimientos conservan las líneas (una línea sigue siendo una línea en nuestra vista cuando inclinamos la cabeza y/o caminamos), por lo que "línea" es un concepto proyectivo. Se pueden consultar en no preservar los círculos: si nos situamos sobre el centro de un círculo, éste parecerá circular, pero cuando nos alejamos de él empieza a parecer una elipse. Por tanto, "círculo" y "elipse" no son conceptos proyectivos. Por otro lado, sorprendentemente, "sección cónica no degenerada" es un concepto proyectivo, y todas las cónicas no degeneradas son equivalentes. Una elipse es simplemente un círculo visto a distancia. Una parábola es un círculo que es tangente a la recta en el infinito. Una hipérbola es un círculo o una elipse que interseca dos veces la recta en el infinito.
Kent
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201
En la geometría elemental, las líneas paralelas no se cruzan. Una geometría no métrica, llamada Geometría proyectiva se introdujo para tratar los "puntos en el infinito". Es un tema muy fascinante, pero sospecho que tu profesor sólo intentaba transmitir una idea aproximada. Una vez, mi profesor dijo que una parábola es "la mitad de una elipse", y la otra mitad está en el infinito. Era un intento de introducir la idea del espacio curvo, pero no hay que pretender demostrar rigurosamente estas frases en el marco de la geometría euclidiana.
C.Rothauser
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Si puedes pensar en el punto en el infinito como un punto en una línea, entonces dos líneas cualesquiera (no importa si son paralelas o no) tienen el punto en el infinito como punto común.
Para una mejor visualización, utilice la correspondencia entre el plano euclidiano y la esfera de Riemann (sin el polo norte). Ahora puedes pensar que el punto en el infinito del plano es el polo norte de la esfera de Riemann. Cada línea del plano corresponde a una circunferencia que pasa por el polo norte. Entonces es evidente que dos rectas cualesquiera del plano (o dos circunferencias cualesquiera que pasen por el polo norte de la esfera de Riemann) tienen un punto de intersección, que es el punto en el infinito (el polo norte).
Ajay Sharma
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Esto es sólo un punto imaginario. En la práctica, puedes seguir las líneas hasta la distancia que quieras, apuesto a que tus generaciones nunca encontrarán ese punto de intersección. No hay ningún punto así. En los libros lo ponen para relacionarlo con el álgebra que sólo se puede expresar matemáticamente. Pero entonces la pregunta es ¿por qué decimos eso? Lo decimos porque para la percepción humana no existe el infinito. Las cosas tienen que terminar en algún lugar. Intenta capturar dos líneas paralelas en una cámara y convergerán en la imagen. Puedes ver que tu propio ojo hace lo mismo. Así que, en teoría, no se cruzan, mientras que nosotros las vemos como si se cruzaran en algún lugar y que se desplaza a otro lugar a medida que nos acercamos a ese punto. La gente tuvo que nombrar este punto. Parece que se cruzan y aún así nunca podemos pararnos sobre ese punto.
