El teorema de Ostrowski da la respuesta para las valoraciones, pero ¿existe una clasificación completa de topologías (al menos separadas) sobre Q (compatible con las operaciones de campo, obviamente)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Según este enlace hay tantas topologías de campo en $\mathbb{Q}$ ya que hay subconjuntos de $\mathbb{R}$ Así que dudo que haya una clasificación. Una referencia parece ser el libro de Wieslaw "campos topológicos" (no parece estar en google books, por desgracia).
PD: nótese que sólo hay una topología de campo (o anillo) no Hausdorff sobre un campo (la de los dos conjuntos abiertos) ya que el cierre de 0 es un ideal, y las demás son completamente regulares, como cualquier topología de grupo Hausdorff. Además, sólo hay un número continuo de topologías metrizables sobre $\mathbb{Q}$ Por lo tanto, la mayoría de las topologías a las que se hace referencia en el enlace anterior son bastante patológicas, por ejemplo, no son contables.
PPS: la búsqueda de "número de topologías de campo" en MathSciNet devuelve las siguientes referencias
Podewski, Klaus-Peter El número de topologías de campo en campos contables. Proc. Amer. Math. Soc. 39 (1973), 33-38.
Kiltinen, John O. Sobre el número de topologías de campo en un campo infinito. Proc. Amer. Math. Soc. 40 (1973), 30-36.
y ambos son de libre acceso (¡gracias AMS!) aquí y aquí .
En cuanto a la prueba para un campo contable $K$ Podewski consigue definir un continuo $\mathcal{G}$ de topologías de campo (metrizables) en $K$ tal que la suprema de dos conjuntos distintos de $\mathcal{G}$ son topologías de campo distintas.
Los detalles son algo complicados, pero la idea es bastante natural. Basta con decir que las topologías de campo metrizables en $K$ se parametrizan --- mediante secuencias fundamentales de vecindades de $0$ --- por cadenas $G$ en un conjunto parcialmente ordenado $P$ de "condiciones" (¿es un forzamiento disfrazado?), que especifican para un número finito de elementos de $K$ pertenezcan o no a la $n$ -ésima vecindad en la secuencia.
Extrañamente, para los campos incontables $K$ la prueba es más fácil, utilizando valoraciones en lugar de cadenas de condiciones, y el hecho de que el grado de trascendencia de $K$ sobre el subcampo primo es la cardinalidad de $K$ .
