Trucos interesantes/útiles en álgebra lineal.

Question

Esta puede ser una pregunta basada en la opinión, ya que cada uno entiende las cosas de manera diferente, pero ¿cuáles son algunos trucos interesantes/útiles en el álgebra lineal?

Por ejemplo, si sabemos que el determinante de una matriz es igual a 0 0 entonces sabemos que la matriz no es invertible, que las filas y columnas de la matriz son linealmente dependientes, etc.

¿Hay algún otro, que sería útil tener en una hoja de trucos para un examen de álgebra lineal?

Answer 1

Mi top 3 (que muchos de mis alumnos siguen olvidando/no entendiendo):

1. Se pueden realizar operaciones elementales de fila multiplicando una matriz dada por la matriz regular apropiada.
2. Las transformaciones lineales y las matrices son "la misma cosa" y las preguntas pueden traducirse entre ambas con relativa facilidad.
3. Puedes definir una transformación lineal definiéndola en una base, no hace falta llegar a una fórmula general.

Answer 2

1. Factorización de rango, se puede escribir cualquier matriz $\textbf{A}_{m\times n}=\textbf{B}\textbf{C}$ , donde $\rho(A)=r$ y $\textbf{B}$ es un $m\times r$ y $\textbf{C}$ es un $r\times n$ matriz. Si se utiliza correctamente es una propiedad muy útil de la matriz. Para una matriz definida positiva se puede tener $\textbf{A}_{n\times n}=\textbf{B}^{T}\textbf{B}$ .

2. Matriz de bloques, $\textbf{A}= \left[\begin{matrix} \textbf{A}_{11} & \textbf{A}_{12} \\ \textbf{A}_{21} & \textbf{A}_{22} \\ \end{matrix}\right]$ , Supongamos ahora que necesitamos $\textbf{A}_{11}$ . entonces considera $\textbf{B}=\left[\begin{matrix}\textbf{B}_1 \\ \textbf{B}_2\end{matrix}\right]$ y $\textbf{C}=\left[\begin{matrix}\textbf{C}_1 & \textbf{C}_2\end{matrix}\right]$ entonces $\textbf{A}=\left[\begin{matrix}\textbf{B}_1 \\ \textbf{B}_2\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\textbf{C}_1 & \textbf{C}_2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \textbf{B}_{1}\textbf{C}_1 & \textbf{B}_{1}\textbf{C}_2 \\ \textbf{B}_{2}\textbf{C}_1 & \textbf{B}_{2}\textbf{C}_2 \\ \end{matrix}\right]$ Por lo tanto, $\textbf{A}_{11} = \textbf{B}_{1}\textbf{C}_1$ .

3. Descomposición espectral de la matriz $\textbf{A}$ . Es decir $\textbf{A}_{m\times n}=\textbf{B}^{-1}\textbf{D}\textbf{B}$ , donde $\textbf{D}=$ matriz diagonal utilizando el valor propio de $\textbf{A}$ .

4. Algunas propiedades del producto de kronecker, tales como $(\textbf{A}\otimes \textbf{B})(\textbf{C}\otimes \textbf{D})=\textbf{AC}\otimes \textbf{BD}$ . Utilizando esta identidad con la descomposición espectral, se pueden observar muchas propiedades útiles, como que el producto de kronecker de a matriz definida positiva es positiva definida.

5. Producto de Hadamard. Hay algunos usos claveros del producto de Hadamard para mostrar una matriz positiva definida. Como ejemplo, supongamos $\textbf{A}= \left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right]$ y $\textbf{B}= \left[\begin{matrix} e & f \\ g & h \\ \end{matrix}\right]$ y $\textbf{A}$ y $\textbf{B}$ son matizaciones positivas definidas. Entonces, ¿qué podemos decir de la matriz $ \left[\begin{matrix} ae & bf \\ cg & dh \\ \end{matrix}\right]$ ? Obviamente es una matriz definida positiva, pero ¿cómo podemos demostrarlo? Consideremos $\textbf{A}\otimes \textbf{B}$ , esta es una matriz definida positiva. ahora $\textbf{Z}_{2\times 4}$ una matriz elimentaria. entonces $\textbf{Z}(\textbf{A}\otimes \textbf{B})\textbf{Z}^{T}$ es positiva definida. se puede elegir $\textbf{Z}$ de tal manera que $\textbf{Z}(\textbf{A}\otimes \textbf{B})\textbf{Z}^{T}=\left[\begin{matrix} ae & bf \\ cg & dh \\ \end{matrix}\right]$ es positiva definida.

Aquí, $\left[\begin{matrix} ae & bf \\ cg & dh \\ \end{matrix}\right] = \textbf{A}\circ\textbf{B}$ producto Hadamard de $\text{A}$ y $\textbf{B}$ .

Por último, pero no menos importante, hay algunas identidades útiles en el álgebra lineal como Identidad de Woodbury , Complemento de Schur etc. que pueden ser útiles.