Prueba elemental del teorema de la equidistribución

Question

Estoy buscando referencias a (tantas como sea posible) demostraciones elementales del teorema de la equidistribución de Weyl, es decir, la afirmación de que la secuencia $\alpha, 2\alpha, 3\alpha, \ldots \mod 1$ está uniformemente distribuida en el intervalo unitario. Con "elemental" me refiero a que no hace uso de análisis complejo en particular el criterio de Weyl.

Muchas gracias.

Answer 1

Hay una prueba muy fácil que solo usa el principio del palomar. Sea $\alpha$ irracional.

Lema: Para cualquier $\delta >0$, existe un $n>0$ tal que $(n \alpha) \in (- \delta, \delta) \setminus \{ 0 \}$.

Prueba: Elija $N$ lo suficientemente grande para que $1/N < \delta$. Divida $[0,1]$ en $N$ segmentos de longitud $1/N$. Por el principio del palomar, existen $j$ y $k$ tales que $(j \alpha)$ y $(k \alpha)$ caen en el mismo segmento. Así que $((j-k) \alpha) \in (-\delta, \delta)$. Como $\alpha$ es irracional, $((j-k) \alpha) \neq 0$. $\square$

Ahora, fije $0 \leq p < q \leq 1$ y $\epsilon>0$. Nuestro objetivo es demostrar que $$\begin{multline*} q-p-\epsilon \leq \lim_{N \to \infty} \inf \frac{\#\{ k \leq N : (k \alpha) \in (p,q) \}}{N} \\ \leq \lim_{N \to \infty} \sup \frac{\#\{ k \leq N : (k \alpha) \in (p,q) \}}{N} \leq q-p+\epsilon. \end{multline*}$$

Elija $\delta >0$ tal que $$\frac{(q-p)/\rho -1}{1/\rho+1} \geq q-p-\epsilon \quad \mbox{y} \quad \frac{(q-p)/\rho +1}{1/\rho-1} \leq q-p+\epsilon$$ para todo $\rho$ con $|\rho| < \delta$.

Elija $n$ tal que $(n \alpha) \in (-\delta, \delta) \setminus \{ 0 \}$. Escriba $\rho = (n \alpha)$. Divida el conjunto de valores $(k \alpha)$ en progresiones aritméticas basadas en $k$ módulo $n$. Entonces cada segmento es de la forma $(\beta + j \rho)$. Es suficiente demostrar que el lim inf y lim sup contribuidos por cada progresión están entre $q-p-\epsilon $ y $q-p+\epsilon$, ya que la contribución total es un promedio ponderado de las contribuciones de las progresiones.

Divida cada progresión en segmentos según $\lfloor \beta + j \rho \rfloor$. El segmento inicial y el segmento final contienen como máximo $1/ |\rho|$ términos. Los segmentos intermedios contienen entre $1/\rho - 1$ y $1/\rho+1$ términos, de los cuales entre $(q-p)/\rho -1$ y $(q-p)/\rho+1$ están entre $p$ y $q$. Como se eligieron $((q-p)/\rho-1)/(1/\rho+1)$ y $((q-p)/\rho+1)/(1/\rho-1)$ para estar en $(q-p-\epsilon, q-p+\epsilon)$, el promedio de todos estos términos está en el intervalo requerido. Y los términos de los segmentos iniciales solo pueden desviar el promedio en a lo sumo $(2/|\rho|)/(N/n)$, que tiende a $0$. QED.

Answer 2

Hardy y Wright dan una prueba basada en fracciones continuas en Sección 23.10 de "Una introducción a la teoría de los números" (referencia válida al menos en la 4ta edición).

Curiosamente, sus notas al final del Capítulo 23 afirman que la forma de "equidistribución" del teorema no se debe a Kronecker (la afirmación que llaman "teorema de Kronecker" es la densidad de $\{n\alpha\}$; dan una serie de pruebas elementales de ese resultado más débil), sino "independientemente a Bohl, Sierpinski y Weyl".

Answer 3

Una prueba elemental fue dada por Alberto Zorzi en

Una Prueba Elemental para el Teorema de Equidistribución
El Intelligencer Matemático Septiembre 2015, Volumen 37, Número 3, pp 1–2

Desafortunadamente, el artículo está detrás de un muro de pago. La prueba hace uso del siguiente criterio elemental para la equidistribución. Como de costumbre, $\{\}$ denota la parte fraccionaria de un número real.

LEMA 1. Una secuencia $(x_n)$ está equidistribuida en $[0,1)$ si y solo si $$ \lim_{N\rightarrow \infty} \left( {1\over N}\sum_{n=1}^N \{x_n\} - {1\over N}\sum_{n=1}^N \{x_n+a\}\right) = 0. $$ para cualquier número real a.

Answer 4

No estoy seguro si esto califica, pero hay una prueba corta utilizando el Análisis de Fourier. Nada demasiado complicado, solo el Teorema de Fejér. Consulta el Capítulo 3 del libro Análisis de Fourier de Körner (hay 110 capítulos en el libro, por lo que realmente es una de las primeras cosas que se cubren).

Answer 5

Aquí hay una prueba elemental para la equidistribución de órbitas de rotaciones irracionales. Sea $\alpha$ cualquier número irracional y fijemos $0\le a. Necesitamos mostrar que

\begin{equation}\tag{1}\label{eq:equidistribution} \frac{\# \left\{0\le j < n\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\right\}}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}b-a. \end{equation}

La idea es elegir un número racional $p/q$ lo suficientemente cerca de $\alpha$ con un denominador lo suficientemente grande, luego tomar $n$ lo suficientemente grande y usar el hecho de que las órbitas de una rotación por $p/q$ están distribuidas de manera uniforme en el intervalo unitario, con una distancia de $1/q$ entre los puntos de la órbita, y que las órbitas de la rotación por $\alpha$ permanecen cerca de las órbitas del mismo punto bajo rotaciones por $p/q$ a lo largo de pedazos de órbitas de tamaño menor que $q$. En este aspecto, la prueba actual está motivada por y es similar a la prueba de Hardy y Wright mencionada en esta página.

Necesitaremos el siguiente lema estándar y fácil de probar:

Lema: Supongamos que $\alpha\in\mathbb{R}$ y que $p$ y $q$ son enteros coprimos que satisfacen \begin{equation}\tag{2}\label{eq:best} \left|\alpha-p/q\right| < \frac{1}{q^2}. \end{equation} Entonces, para cada $0\le i < q$ existe un único $0 \le j < q$ tal que $\{j\alpha\}\in \left[\frac{i}{q},\frac{i+1}{q}\right)$.

Prueba: Sin pérdida de generalidad, asumamos que $\alpha > \frac{p}{q}$. Entonces $0 < j\alpha - j\frac{p}{q} < \frac{1}{q}$ para todo $0\leq j. Escribiendo $jp = s_j q + r_j$ con $0\leq r_j vemos que la parte entera de $j\alpha$ es $s_j$ lo que implica $\frac{r_j}{q} < \{j\alpha\} < \frac{r_j+1}{q}$. Dado que $p$ y $q$ son coprimos, el mapa $j\mapsto r_j$ es una biyección en $\{0,\ldots,q-1\}$ por lo que hemos terminado.

Volviendo a nuestro tema principal, fijemos cualquier $\varepsilon>0$. Por el teorema de Dirichlet, existen aproximaciones racionales arbitrariamente grandes de $\alpha$ que satisfacen \eqref{eq:best}. Elija $p$ y $q$ coprimos que satisfagan \eqref{eq:best} con $q$ suficientemente grande (tal que $\frac{1}{q}<\frac{\varepsilon}{3}$), y elija $N$ lo suficientemente grande (tal que $\frac{q}{N}<\frac{\varepsilon}{3}$).

Luego, para cualquier $n\ge N$, escribimos $n = sq+r$ con $0\le r < q$. Se cumple la siguiente estimación: \begin{align*} \# \left\{0\le j < n\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\right\} & \ge \sum_{t=1}^{s} \# \left\{(t-1)q\le j < tq\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\right\} \\ & \ge s\left(q(b-a) - 2\right) \\ & = n\left(b-a\right) - 2s - r(b-a). \end{align*}

En la segunda desigualdad, el número de subintervalos de una partición del intervalo unitario en $q$ subintervalos de longitud $1/q$ que intersecta $[a,b]$ acota el número de puntos de la órbita en $[a,b]$. El error en este conteo es a lo sumo dos, la razón siendo que en cualquier partición del intervalo en subintervalos hay a lo sumo dos subintervalos que intersectan $[a,b]$ pero no están contenidos en él. Dado que $\frac{s}{n} \leq \frac{1}{q} < \frac{\varepsilon}{3}$ y $\frac{r}{n} \leq \frac{q}{n} < \frac{\varepsilon}{3}$, esto demuestra que

$$ \frac{\# \left\{0\le j < n\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\right\}}{n} \ge b-a - \varepsilon. $$

La otra desigualdad se demuestra de manera similar: \begin{align*} \# \left\{0\le j < n\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\right\} & \le \sum_{t=1}^{s+1} \# \left\{(t-1)q\le j < tq\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\right\} \\ & \le (s+1)\left(q(b-a) + 2\right) \\ & = n\left(b-a\right) + 2(s+1) + (q - r)(b-a), \end{align*} entonces, $$ \frac{\# \{0\le j < n\,:\,\{j\alpha\} \in[a,b]\}}{n} \le b-a + \varepsilon. $$ Dado que $\varepsilon$ es arbitrario, esto demuestra \eqref{eq:equidistribution}.