En Concreto las Matemáticas de la sección 5.5, que es la enseñanza de las funciones hipergeométricas, generalizada factoriales se define como:
\[ \frac 1 {z!} = \lim_{n \to \infty} \binom{n+z}{n}n^{z} \]
donde
\[ \binom r k = \left\{ \begin{array}{ll} r^{\underline k} / k! = r(r-1) \cdots (r-k+1) / k! & k > 0 \\ 1 & k = 0 \\ 0 & k < 0 \end{array} \right. \]
sigue el ordinario de la definición.
Por lo $z! = z(z-1)!$ para todo el complejo de $z$ (a excepción de los números enteros negativos), entonces podemos comprobar $0! = 1$$n! = n(n-1) \cdots 1$$n > 0$.
A continuación, un coeficiente binomial puede ser escrito
\[ \binom z w = \lim_{\zeta \z} \lim_{\omega \w} \frac{\zeta!}{\omega!(\zeta-\omega)!} \]
Deje $t_k = \dbinom r k \dbinom s {n-k}$.
Sin embargo, el siguiente párrafo dice que
\[ t_k = \frac{r!}{(r-k)!k!} \frac{s!}{(s-n+k)!(n-k)!}\] y ya no somos demasiado tímidos para el uso generalizado de factoriales en estas expresiones.
sin límites (se dice que debemos uso apropiado de la limitación de los valores de estas fórmulas dan $\infty / \infty$) y considera la relación $t_{k+1} / t_k$ todos los $t_k \neq 0$ y se cancela algunos factoriales utilizando la propiedad $z! = z(z-1)!$
Estoy "muy tímido" y mi pregunta sigue siendo: ¿por qué podemos hacer tal cancelación?
Para observar de cerca, nos tomamos una variedad de un ejemplo de la sección 5.7:
Considerando indefinido suma \[ \sum \binom n {-k} \delta k, \qquad n < 0 \]
Deje $t(k) = \dbinom n {-k} = \dfrac{n!}{(-k)!(n+k)!}$, tenemos \[ \frac{t(k+1)}{t(k)} = \frac{n!}{(k-1)!(n+k+1)!} \frac{(-k)!(n+k)!}{n!} = -\frac{k}{n+k+1} \]
Deje $n = -1$,$t(k+1) / t(k) = -1$$t(k) \neq 0$. Pero es malo para $k = 0$ donde$t(1) = 0$$t(0) = 1$.
A ver cómo sucede el error, vamos a resumir la $\lim$ notación:
\begin{align*} t(k+1) &= \binom n {-k-1} \\ &= \lim_{z_2 \to 0} \lim_{z_1 \to 0} \frac{(n+z_2)!}{(-k-1+z_1)!(n+k+1-z_1+z_2)!} \\ &= \lim_{z_2 \to 0} \lim_{z_1 \to 0} \frac{-k+z_1}{n+k+1-z_1+z_2} \frac{(n+z_2)!}{(-k+z_1)!(n+k-z_1+z_2)!} \\ &= \binom n {-k} \lim_{z_2 \to 0} \lim_{z_1 \to 0} \frac{-k+z_1}{n+k+1-z_1+z_2} \end{align*} Así que cuando $n = -1$$k = 0$,$\lim_{z_2 \to 0} \lim_{z_1 \to 0} (-k+z_1)/(n+k+1-z_1+z_2) = 0$$-k/(n+k+1)$.
Otro ejemplo (también desde la sección 5.5) es:
\[ \lim_{x \to -1} \frac{x!}{(x-1)!} = \lim_{x \to -1} x = -1 \] pero \[ \lim_{x \to -1} \frac{x!}{(2x)!} = -2 \] porque de $(-z)! \Gamma(z) = \pi / \sin(z\pi)$, por lo que la expresión de $(-2)! / (-1)!$ es ilegal.
Mi pregunta es: en el marco de Concreto de las Matemáticas, cómo evitar estos errores?
Muchas gracias.
