Anillo de Chow del esquema de Hilbert de 4 puntos en $\mathbb{P}^2$

Question

Qué se sabe del anillo de Chow del esquema de Hilbert de longitud 4 subesquemas de $\mathbb{P}^2$ ?

Sé que hay trabajos sobre ciclos en esquemas de Hilbert en la literatura, pero no sé qué se puede deducir sobre este caso especial.

Answer 1

En principio, los anillos de Chow de los esquemas de Hilbert de longitud $d$ subesquemas en $\mathbb{P}^2$ son conocidos (aunque todavía puede ser una tarea no trivial extraer información de las descripciones conocidas). Aquí hay algunas referencias bibliográficas. (Nótese que algunas de ellas hablan de cohomología integral u homología, pero debido a la estructura celular de Bialynicki-Birula el mapa de clase de ciclo del anillo de Chow al anillo de cohomología integral es un isomorfismo).

Existe una descripción de los anillos de Chow de los esquemas de Hilbert en términos de la teoría de la representación del álgebra de Heisenberg de dimensión infinita. Esto se debe a Nakajima y Grojnowski (después del trabajo de muchas personas, compruebe las referencias en los documentos)

• H. Nakajima: Álgebra de Heisenberg y esquemas de Hilbert de puntos en superficies proyectivas. Ann. of Math. 145 (1997), 379-388. enlace al artículo de arXiv

• I. Grojnowski: Instantones y álgebras afines I. El esquema de Hilbert y los operadores de vértice. Math. Res. Lett. 3 (1996), 275-291. enlace al artículo de arXiv

Hay otra descripción basada en cálculos con cohomología equivariante en el siguiente artículo (que también contiene un cálculo explícito para el esquema de Hilbert de 3 puntos en $\mathbb{P}^2$ ):

• L. Evain: The Chow ring of punctual Hilbert schemes on toric surfaces. Transformation Groups 12 (2007), 227--249. enlace al artículo de arXiv

Una base diferente para la cohomología integral (dada por configuraciones geométricas explícitas) fue dada en el siguiente trabajo

• R. Mallavibarrena e I. Sols. Bases para los grupos de homología del esquema de Hilbert de puntos en el plano. Compositio Math. 74 (1990), 169-201. enlace a numdam

La sección 5 de este trabajo también contiene algunos cálculos de productos de intersección en el anillo de Chow del esquema de Hilbert de 4 puntos. Esto puede ser lo más relevante para la pregunta, mostrando que los cálculos de los productos de intersección pueden hacerse explícitos.

También hay algunas notas de clase sobre estos resultados:

• H. Nakajima: Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces. University Lecture Series 18. Amer. Math. Soc. 1999.

• G. Ellingsrud y L. Göttsche: Hilbert schemes of points and Heisenberg algebras. enlace a la página web del CIPT

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Editar: Algunas referencias más. Por supuesto, hay

• L. Göttsche. Esquemas de Hilbert de subesquemas de dimensión cero de varieies suaves. Lectures Notes in Math. 1572. Springer 1994.

En las referencias del libro de Göttsche encontré lo siguiente, que también proporciona un cálculo del par de intersección en ${\rm CH}^4$ la dimensión media del anillo de Chow para ${\rm Hilb}^4(\mathbb{P}^2)$ (los resultados se obtienen mediante el uso de características geométricas específicas, no mediante la especialización a partir de los resultados para el general ${\rm Hilb}^d$ ).

• D. Avritzer e I. Vainsencher. ${\rm Hilb}^4(\mathbb{P}^2)$ . En: Enumerative Geometry (Sitges 1987), Lecture Notes in Math. 1436. Springer 1990, pp. 30-59.