Sea$\Gamma$ uno de los subgrupos de congruencia clásicos$\Gamma_0(N)$,$\Gamma_1(N)$ y$\Gamma(N)$ de$SL(2, \mathbb{Z})$.
¿Cómo funciona el límite inferior para la longitud de las geodésicas primitivas en$\Gamma \backslash \mathbb{H}$ dependiendo de$N \rightarrow \infty$?
¿Alguna sugerencia?
Para obtener resultados más generales y referencias extensas, ver Katz, Schaps, Vishne, Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia (JDG, 2007)
No tengo una respuesta, pero aquí hay una sugerencia. De los alrededores del ejercicio 20 en la sección 3.7 del Análisis armónico de Terras sobre espacios simétricos I , encontramos que una geodésica primitiva cuyo comienzo y final están unidos por la transformación hiperbólica$\gamma$ tiene una longitud$\log N(\gamma)$, donde$N(\gamma) = a^2$ y$a$ es un número real que satisface$|a| > 1$, de modo que la forma de Jordan de$\gamma$ es$\left(\begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{smallmatrix} \right)$. Ahora solo necesita descubrir cómo las normas de los elementos hiperbólicos crecen con el nivel.
Sea$\Gamma$ el grupo de congruenecia$\ker SL_2(\mathbb{Z}) \to SL_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$. La longitud de la geodésica más corta es del orden de$\log N$. El límite superior se sigue de un argumento de conteo, y el inferior límite proviene de la observación de que un producto de$c\log N$ los generadores de$SL_2(\mathbb{Z})$ no pueden ser un elemento no trivial$\Gamma$ porque todas las entradas son "pequeñas".
Creo que el mismo argumento también funciona para$\Gamma_0$ y$\Gamma_1$
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