¿Hay más de dos soluciones racionales para$a^b= b^a$?

Question

Me he preguntado por un tiempo si hay soluciones racionales interesantes para $a^b = b^a$ . Lo he intentado, pero no puedo encontrar ninguna solución que no sea $a=2$ y $b=4$ , o viceversa.

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay infinitas soluciones.

Por ejemplo, tome cualquier entero positivo $n$ y establezca $c=(n+1)/n, a=c^n, b=c^{n+1}$ . Luego $$ a ^ b = c ^ {nb} = c ^ {nc ^ {n + 1}} $$ y $$ b ^ a = c ^ {(n + 1) a} = c ^ {(n + 1) c ^ n}. $$

Estas dos expresiones son iguales porque

$$ nc ^ {n + 1} = (nc) c ^ n = (n + 1) c ^ n. $$