Paquetes de líneas holomórficas en un disco perforado

Question

¿Es cada paquete de líneas holomórficas en, digamos, un disco perforado$\dot{\Delta} \subseteq \mathbf{C}$ trivial? Griffiths-Harris (p. 39) prueban que$H^{p,q}_{\overline{\partial}}(\Delta) = 0$ (para$q \geq 1$), y mencionan que reemplazando los discos por anillos se podría probar también$H^{p,q}_{\overline{\partial}}(\dot{\Delta}^k \times \Delta^\ell) = 0$. Parecen implicar que, en particular,$H^{p,q}_{\overline{\partial}}(\dot{\Delta}) = 0$. Si esto fuera cierto, usando el teorema de Dolbeault y la secuencia de Kummer se podría concluir$H^1(\dot{\Delta},\mathcal{O}^\times_{\dot{\Delta}}) = 0$, por lo tanto, cada paquete de líneas holomórficas en$\dot{\Delta}$ es trivial.