¿Qué tan cerca pueden llegar las potencias de los enteros coprimos?

Question

Dado el coprime$a, b$, ¿cuál es$$ \min_{x, y > 0} |a^x - b^y| $ $

Aquí$x, y$ son números enteros. Obviamente, tomar$x = y = 0$ da una respuesta poco interesante; en general, ¿qué tan cerca pueden llegar estos poderes? Además, ¿cómo calculamos rápidamente el$x, y$ de minimización?

Answer 1

Como una extensión del comentario de Gerry Myerson: una lista corta de pequeñas diferencias, usando$a=2..199$ y$b=a+1..3999$ verificando los primeros ocho convergentes de la fracción continua de$\log(a)/\log(b)$ en busca de diferencias$d\le 100$

   a       b          d        cont.frac
--------------------------------------------------  
 15^4-   37^3 =     -28 --- .0.1.2.1.1631.1.6
  6^7-   23^4 =      95 --- .0.1.1.2.1.1318.1.30

Después de eso, solo ocurren diferencias donde un exponente es 2

   2^15- 181^2 =       7 --- .0.7.2.1621.1.2
  2^17- 362^2 =      28 --- .0.8.2.1621.1.2

  3^9-  140^2 =      83 --- .0.4.2.129.2.24
  3^11- 421^2 =     -94 --- .0.5.1.1.1034.1.27
  3^15-3788^2 =     -37 --- .0.7.1.1.213025.3.1

  5^5-   56^2 =     -11 --- .0.2.1.1.228.1.1

  6^5-   88^2 =      32 --- .0.2.2.216.1.3
  6^7-  529^2 =      95 --- .0.3.2.2638.1.14

  7^5-  130^2 =     -93 --- .0.2.1.1.175.1.4

  8^5-  181^2 =       7 --- .0.2.2.4866.16.4
 23^5- 2537^2 =     -26 --- .0.2.1.1.388098.1.2
 27^5- 3788^2 =     -37 --- .0.2.1.1.639076.1.3

de aquí solo quedan diferencias con exponentes$3$ y$2$

  13^3-   47^2 =     -12 --- .0.1.1.1.234.1.15
 15^3-   58^2 =      11 --- .0.1.2.414.3.1
 17^3-   70^2 =      13 --- .0.1.2.534.6.3
 18^3-   76^2 =      56 --- .0.1.2.149.3.1
 19^3-   83^2 =     -30 --- .0.1.1.1.336.1.5
 20^3-   89^2 =      79 --- .0.1.2.150.2.3
 20^3-   90^2 =    -100 --- .0.1.1.1.120.13.23
 21^3-   96^2 =      45 --- .0.1.2.312.50.1
 22^3-  103^2 =      39 --- .0.1.2.420.1.2
 23^3-  110^2 =      67 --- .0.1.2.283.2.2
 24^3-  118^2 =    -100 --- .0.1.1.1.219.1.24
 27^3-  140^2 =      83 --- .0.1.2.389.2.7
 28^3-  148^2 =      48 --- .0.1.2.760.1.1
 29^3-  156^2 =      53 --- .0.1.2.773.2.2
 32^3-  181^2 =       7 --- .0.1.2.8110.2.3
 34^3-  198^2 =     100 --- .0.1.2.691.1.1
 35^3-  207^2 =      26 --- .0.1.2.2930.15.1
 37^3-  225^2 =      28 --- .0.1.2.3264.1.2
 40^3-  253^2 =      -9 --- .0.1.1.1.13116.2.3
 43^3-  282^2 =     -17 --- .0.1.1.1.8795.1.3
 44^3-  292^2 =     -80 --- .0.1.1.1.2015.6.1
 45^3-  302^2 =     -79 --- .0.1.1.1.2195.1.9
 46^3-  312^2 =      -8 --- .0.1.1.1.23291.1.341
 52^3-  375^2 =     -17 --- .0.1.1.1.16340.1.35
 55^3-  408^2 =     -89 --- .0.1.1.1.3746.8.3
 56^3-  419^2 =      55 --- .0.1.2.6425.239.2
 63^3-  500^2 =      47 --- .0.1.2.11019.1.1
 65^3-  524^2 =      49 --- .0.1.2.11696.3.12
 72^3-  611^2 =     -73 --- .0.1.1.1.10933.1.5
 99^3-  985^2 =      74 --- .0.1.2.30124.3.2
101^3- 1015^2 =      76 --- .0.1.2.31280.1.1631
109^3- 1138^2 =     -15 --- .0.1.1.1.202515.17.4
136^3- 1586^2 =      60 --- .0.1.2.102977.1.696
152^3- 1874^2 =     -68 --- .0.1.1.1.129727.1.97