Supongamos que trabajamos en la teoría de conjuntos ZF sin elección. Una función aditiva es una función definida sobre la recta real tal que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Se sabe que si todo conjunto de reales es medible, entonces toda función aditiva es lineal. ¿Se cumple lo contrario en ZF?
¿Puede citar las referencias de esas declaraciones? ¡Quiero leer más sobre este tema! (es decir, sobre "Todo conjunto de reales tiene la propiedad de Baire $\Rightarrow$ toda función aditiva es $\mathbb R$ -lineal" y "ZF+Baire" más débil que "ZF+todos los subconjuntos reales son medibles")
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Supongo que una función aditiva no lineal en ZFC tiene el siguiente aspecto: elegir una base Hamel de $\mathbb R$ como $\mathbb Q$ -espacio vectorial, definir el mapa en la base arbitrariamente y extender por $\mathbb Q$ -linealidad. Así que sin elección no podemos producirla. ¿Correcto?
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@PatrickDaSilva Sí, correcto.
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Tengo curiosidad por la afirmación "todo conjunto de reales es medible $\Rightarrow$ toda función aditiva es lineal" en ZF. ¿Tienes una prueba escrita en algún sitio? ¿Es pesada?
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También estoy pensando un poco en la continuidad porque la afirmación "toda función aditiva es lineal" se puede reformular como "toda $\mathbb Q$ -La función lineal es $\mathbb R$ -lineal" porque la aditividad implica $f(nx) = nf(x)$ por inducción en $n$ para que $f(ax/b) = \frac {af(x)}{b}$ para cualquier $a/b \in \mathbb Q$ .
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En cuanto a la continuidad, es un buen punto que vale la pena ampliar. Es bien sabido que la función solución de f(a+b) = f(a) + f(b) debe satisfacer f(x) = cx para alguna constante c al menos en Q (conjunto de racionales). Sin embargo, George Hamel demostró la existencia de funciones aditivas continuas en ninguna parte utilizando el axioma de elección. Es bastante fácil demostrar que si f es también continua en un único valor real, entonces f es necesariamente de la forma f(x) = cx. Incluso escribí sobre esto en un pequeño artículo: Michael W. Ecker, Adding a Simple Condition to Additive Functions, MathAMATYC Educator, February 2016, Vol. 7, No. 3.