Tengamos una secuencia $\{a_{n}\}$ , de tal manera que $\forall n \,\, a_{n}>0$ y $a_{n} \rightarrow\infty, n\rightarrow\infty$ . Supongamos también que tenemos una subsecuencia $\{a_{n_{k}}\}$ tal que $\exists C>0$ $\forall k:$ $a_{n_{k}}<Clog\, n_{k} $ . ¿Cómo podemos demostrar que la función generadora de $\{a_{n}\}$ no puede ser una función algebraica?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, podemos. La asimetría de los coeficientes de una función algebraica está determinada por el número finito de singularidades en el círculo de convergencia. En cada singularidad la función algebraica tiene una exanción de Puiseux, de la que se deduce que la función tiene una asíntota de potencia (sin logaritmos). Este documento es una referencia conveniente para la relación entre la asintótica de la función y la asintótica de su serie de potencias:
MR1039294
Flajolet, Ph., Odlyzko, A., Singularity analysis of generating functions. SIAM J. Discrete Math. 3 (1990), no. 2, 216-240.
La inspección de todos los casos muestra que ninguna subsecuencia de coeficientes de una función algebraica puede tener el crecimiento intermedio entre la constante y el logaritmo. Más precisamente, la constante puede ocurrir pero el logaritmo no. Así que sus condiciones de que los coeficientes tiendan al infinito pero no más rápido que el logaritmo excluyen a las funciones algebraicas.
