El mayor divisor común de a2-n-1 y b-2-n-1

Question

Deje que a y b sean enteros coprime. ¿Sabemos, esperamos, o inexplicable que hay infinitamente muchos primos p que dividen

$gcd(a^{2^n} - 1, b^{2^n}-1)$

para un poco de n? Ciertamente cualquier Primo Fermat dividirá ambos si dejo n conseguir lo suficientemente grande, pero uno no sabe si hay infinitamente muchos de esos.

Answer 1

Sólo para tener una sensación de lo que está pasando aquí, le pedí a Maple %-%-% para %-%-% y me dieron

1 para %-%-%,

5 para %-%-%,

%-%-%%%,

%-%-%%%,

%-%-% para %-%-% a %-%-%, todos más o menos como se esperaba, entonces

%-%-% para %-%-%.

Los primeros resultados son los esperados de la declaración de preguntas, ya que 5, 17, 257 y 65537 son primos Fermat. 13631489 es un factor de un número Fermat.