Sea$M_{2}(\mathbb{F}_{p})$ el espacio vectorial de 2$\times$ 2 matrices sobre el campo finito$\mathbb{F}_{p}$ donde$p$ es un número primo, y$GL_{2}(\mathbb{F}_{p})$ sea el grupo de matrices invertibles 2$\times$ 2 sobre$\mathbb{F}_{p}$. Dejamos que$GL_{2}(\mathbb{F}_{p})$ actúe sobre$M_{2}(\mathbb{F}_{p})$ por conjugación. Mi pregunta es ¿cómo calcular el grupo de cohomología$H^{1}(GL_{2}(\mathbb{F}_{p}), M_{2}(\mathbb{F}_{p}))$?
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waney
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Deje que las matrices$G=GL_2(\mathbb F_p)$,$M=M_2(\mathbb F_p)$,$M^0=$ de traza 0 en$M$. Si considera primero$H^1(G,M^0)$, entonces es 0 tan pronto como$p \geq 7$ por CPS (Cline, Parshall, Scott, cohomología de grupos finitos de tipo Lie, Publ. IHES 45, (1975)) Teorema 4.2 . (Este es un resultado a veces útil en la teoría de la deformación de Galois, cf. Mazur, "Deforming Galois Representations", páginas 401-402).
En cuanto a$H^1(G,M)$, obtienes que tiene dimensión 0 (editado después de los comentarios) si$p\geq7$ ya que$M=M_0 \oplus \mathbb F_p$ como$G$ - módulos cuando$p$ es impar.
