Terminación profinita de grupos finitamente presentados

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finitamente presentado, $\widehat{G}$ sea la terminación profinita de $G$ y $f: G\rightarrow \widehat{G}$ sea el mapa natural.

Mi pregunta es:

¿Hay algún ejemplo de $G$ para lo cual $\text{Im} f$ no está finitamente presentada?

Answer 1

Sí. Toma el grupo Baumslag-Solitar $$G=\mathrm{BS}(2,3)=\langle t,x\mid tx^2t^{-1}=x^3\rangle$$ Entonces $G$ es de presentación finita; la imagen de $G$ en su terminación profinita (es decir, el mayor cociente residualmente finito de $G$ ) es $\mathbf{Z}[1/6]\rtimes_{2/3}\mathbf{Z}$ que no está finitamente presentada. (Aquí $(2,3)$ puede sustituirse por cualquier par coprimo $(n,m)$ con $n,m\ge 2$ .)

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Aquí hay un ejemplo similar en el que puedo dar detalles. Arreglar $n\ge 2$ . Definir $$H_n:\langle t,x,y|txt^{-1}=x^n,t^{-1}yt=y^n,[x,y]=1\rangle;$$ dejar $u$ sea el endomorfismo de grupo de $H_n$ cartografía $(t,x,y)\mapsto (t,x^n,y)$ . Está bien definido, ya que el triple de imágenes satisface los relatores, y es claramente suryente (ya que la imagen de $t^{-1}xt$ es $t^{-1}x^nt=x$ ).

No es inyectiva, porque $[t^{-1}xt,y]$ pertenece al núcleo; para mostrar que este elemento no es trivial se puede obtener observando que la presentación describe $H_n$ como una extensión HNN de $\mathbf{Z}^2=\langle x,y\mid [x,y]=1\rangle$ con un isomorfismo $\langle x,y^n\rangle\to \langle x^n,y\rangle$ cartografía $(x,y^n)$ a $(x^n,y)$ .

Como en todo endomorfismo sobreyectivo $u$ de un grupo finitamente generado, todos los elementos en $L_u=\bigcup_m\mathrm{Ker}(u^m)$ pertenecen al núcleo del homomorfismo de terminación profinita. En este caso, todos los elementos $[t^{-m}xt^m,y]$ pertenecen a $L_u$ . Pero en el cociente por estos relatores adicionales, los elementos $t^{-m}xt^m$ generar una copia de $\mathbf{Z}[1/n]$ los elementos $t^{m}yt^{-m}$ generan otra, y se conmutan entre sí. Esto permite demostrar que el cociente (por estos relatores adicionales) es isomorfo a $$\Gamma_n=\mathbf{Z}[1/n]^2\rtimes_A\mathbf{Z},$$ donde la acción es por la matriz diagonal $A=\mathrm{diag}(n,n^{-1})$ . El grupo $\Gamma_n$ es residualmente finito, y se deduce fácilmente que es el mayor cociente residualmente finito de $H_n$ . Dado que el núcleo del homomorfismo cociente $H_n\to\Gamma_n$ es la unión estrictamente creciente de subgrupos normales $\mathrm{Ker}(u^m)$ no está finitamente presentada (esta última observación se desprende también de los resultados clásicos de Bieri-Strebel).