Elementos de orden infinito en un grupo profinito

Question

Dice G es un grupo profinito con elementos de orden arbitrariamente grande. ¿Existen elementos de orden infinito (A) Si suponemos que G es abeliano? ¿(B) en general?

Un comienzo para (A): podemos preguntar la misma pregunta para el cierre del subgrupo de torsión de G (un subgrupo de G es abeliano), WLOG así que podemos suponer el subgrupo de torsión es denso en G.

Answer 1

(B) es probablemente difícil puesto que aparece como un problema abierto en el libro Grupos profinito Ribes y Zalesski (2009). [Pregunta de 4.8.5b (p. 401): "Es un grupo profinito torsión necesariamente de exponente finito?"]

Answer 2

En el caso abeliano, elementos de orden infinito tienen que existir, para cualquier grupo compacto. Sea g (n) el (cerrado) subgrupo de torsión de n elementos. Si G fuera la Unión de la g (n), entonces por el teorema de categoría de Baire, algunos g (n) tendría que tiene interior no vacío. Esto implicaría que g (n) es abierto por lo que G/G(n) es finito por compacidad, que implicaría que el orden de los elementos de G es limitado.

Answer 3

Me gustaría añadir que el restringido de Burnside problema es equivalente al hecho de que un finitely generado profinite grupo de finito exponente es finito. Ahora, esto fue demostrado por Zelmanov. Pero él también probó un fuerte resultado: cada finitely generado compacto Hausorff de torsión grupo es finito, ver Zelʹmanov, E. I., En el periódico grupos compactos, Israel J. Math. 77 (1992), no. 1-2, 83--95. En particular, cada finitely genera torsión profinite grupo es finito, es decir, el problema de Burnside es cierto para profinite grupos. Por CIERTO, Zelmanov tiene un resultado general que se refiere a cuando un pro-p grupo es finito (no recuerdo ahora la formulación exacta, Ignorar: debe ser algo como todos los generadores tienen finito de orden y los asociados gradual Mentira algbera satisface una identidad), sin embargo, sólo publicó un esbozo de la prueba que creo que es en E. Zelmanov, Nil Anillos y Periódico de los Grupos, El coreano Sociedad Matemática de Notas de la Conferencia en Matemáticas, coreano Sociedad Matemática, Seúl, 1992.

Edit: se me preguntó sobre esto recientemente. Así que me tuve que buscar en mi memoria y en la literatura. Esto es lo que he encontrado: creo que he leído sobre el resultado en Shalev capítulo en Nuevos Horizontes en la Pro-$p$ Grupos (Teorema 2.1 y Corolario 2.2). Sin embargo, la referencia original es Zelmanov del papel de los Grupos '93 Galway San Andrews Volumen 2, LMS Conferencia Nota de la Serie 212.

Aquí está: Deje $G$ ser un grupo. Escribir $(x_1,x_2,\ldots,x_i)$ para la izquierda normalizado de conmutacion de los elementos $x_1,x_2,\ldots,x_i \in G$. Deje $D_k$ ser el subgrupo de $G$ generado por $(x_1,x_2,\ldots,x_i)^{p^j}$ donde $ip^j \geq k$ y vamos por todas las $x_1,x_2\ldots,x_i \in G$. Deje $L_p(G)$ ser la Mentira subalgebra generado por $D_1/D_2$ en la Mentira de álgebra $\oplus_{i \geq 1} D_i/D_{i+1}$. Decimos que $G$ es Infinitesimalmente PI (IP) si $L_p(G)$ cumple un polinomio de identidad (PI). Zelmanov demostrado el siguiente teorema:

Teorema: Si $G$ es un finitely generado, residual-$p$, la IP y el periódico del grupo, a continuación, $G$ es finito.

La prueba se basa en el siguiente teorema para que él sólo esbozado la prueba (de acuerdo a Shalev):

Teorema: Vamos a $L$ ser una Mentira álgebra generada por $a_1,a_2,\ldots,a_m$. Supongamos que $L$ es PI y cada colector en $a_1,a_2,\ldots,a_m$ es ad-nilpotent. A continuación, $L$ es nilpotent.

La cuestión de si una torsión profinite grupo es finito exponente sigue abierta por lo que yo sé y que sea considerado como muy difícil. (Burnside tipo de problemas parecen ser muy difícil.)

Answer 4

También hay muchos infinito orden de los elementos en la medida de Haar sentido:

Recordemos que un profinite grupo es compacto, por lo que tiene una probabilidad de medida de Haar. Si G es abelian y tiene un elemento de orden > n, entonces G tiene ℤ/pℤ para p > n+1 o ℤ/p^kℤ para la pequeña p , y convenientemente grande k como un cociente. Así, bajo el supuesto de que G tiene elementos de unbounded el fin de conseguir que el primero es un cociente de un número infinito de números primos, o el último es un cociente de una prima fija y una infinidad de poderes.

Ahora la relación de los elementos en cada una de las finito de coeficientes de orden mayor que $n$ tiende a $1$. Por norma argumentos de la teoría de la medida, esto implica que la probabilidad de medida de los elementos de la $G$ a de orden mayor que $n$ $1$ (cuando p tiende a infinito o p es fijo y k tiende a infinito). Tomando intersección sobre todas las $n$'s de dar que la probabilidad de que un elemento tiene una orden más grande que cualquier entero positivo, es decir, infinito orden, es $1$.