Sospecho que la siguiente afirmación es verdadera y puedo usarla en mi trabajo si es cierta. Sin embargo, no soy un teórico de los números y no pude probarlo yo mismo. Me preguntaba si esto es conocido por los teóricos de los números.
Declaración: Para cada número real positivo$\alpha$ existe un número natural$N$ tal que, para cada$n \geq N$ cada uno de los intervalos$[n^{\alpha},2n^{\alpha}) , [2n^{\alpha},3n^{\alpha}), ...$ contiene al menos un número natural que no tiene factor común con$n$.
Esto está estrechamente relacionado con la función de Jacobsthal definida como el entero más pequeño$j(n)$, de modo que cualquier segmento de$j(n)$ enteros consecutivos contiene un entero coprimo con$n$. Iwaniec ("Sobre el problema de Jacobsthal", Demonstratio Math. 11 , 225-231, 1978) demostró que$j(n)=O(\log^2(n))$; esto implica su declaración.
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