Sé que para las entradas simples, puedes simplemente memorizar la respuesta, pero ¿qué pasa si quiero encontrar $\arcsin{0.554}$ . Mi calculadora me dice al instante que la respuesta es $0.5752 \ \text{radians}$ . ¿Cómo puedo hacerlo a mano, de forma procedimental, para llegar siempre a la respuesta correcta sin tener que memorizar un montón de cosas?
Gracias.
Esta es una buena pregunta. Las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas son complicadas. De hecho, el IEEE ha publicado normas sobre cómo deben calcularse. ( EDIT: La cláusula 9 del IEEE 754-2008, el estándar de punto flotante, recomienda pero no exige la implementación de funciones trigonométricas. )
En el siguiente artículo se describe un método para calcular $\arcsin x$ cuando $0 < x < 1$ : Papel .
En esencia, utilizan la identidad trigonométrica
$$\arcsin N = \arctan \frac{N}{\sqrt{1-N^2}}.$$
Por supuesto, esto sólo plantea la pregunta: ¿cómo se computa $\arctan x$ ?
Los antiguos algoritmos utilizaban algo llamado CORDIC .
Los ordenadores modernos tienen suficiente memoria y velocidad para construir tablas de búsqueda e interpolar. Sin embargo, CORDIC sigue encontrando uso en cosas como las FPGAs. No sé de antemano cuál es el algoritmo estándar, actualmente, pero estoy dispuesto a apostar que tu calculadora utiliza CORDIC o búsquedas interpoladas.
También hay que tener en cuenta que las series de potencias para arctan son muy sencillas de evaluar.
Las calculadoras utilizan normalmente una versión del CORDIC-algoritmos que es un conjunto de algoritmos para evaluar diferentes funciones trigonométricas, o algún tipo de serie de potencias (por ejemplo, series de Taylor) de la función. Estos algoritmos normalmente no son muy adecuados para hacer cálculos "a mano", ya que hacen uso de mucha repetición en la que los ordenadores son buenos, pero los humanos somos bastante lentos. Al abaratarse el hardware, a menudo disponemos también de tablas de consulta que nos permiten realizar una interpolación lo suficientemente precisa para las aplicaciones previstas.
Para responder a la pregunta del cuerpo, que es bastante diferente a la del título, no obtendrás un valor muy exacto de arcsin a mano sin mucho trabajo. La forma más fácil y razonablemente precisa es utilizar el valor más cercano que conozcas y una serie de Taylor. Si quieres $\arcsin 0.554$ probablemente sabes que $\arcsin 0.5=\frac \pi 6$ . Entonces $\arcsin 0.554 \approx \frac \pi 6 + 0.054 \left.\frac d{dx}\arcsin x\right|_{0.5}=\frac \pi 6 + 0.054 \frac 1{\sqrt {1-0.5^2}}\approx 0.58595$ que está dentro de $0.0012$ de la correcta $0.58716.$
Por supuesto, esto no es realmente "a mano" si se utiliza la calculadora para calcular un valor para $\pi/6 + .054/\sqrt{1 - 0.5^2}$ . Pero si lo hace, ¿por qué no confiar en él con $\arcsin(0.554)$ ?
No es realmente instantáneo, pero es bastante rápido. Hay varias formas de estimar funciones. Una forma es utilizar una expansión en serie de Taylor.
En cuanto a hacer esto a mano, aunque tuvieras la expansión de la serie de taylor, sería difícil de hacer ya que estás hablando de muchos cálculos. Claro que se podría hacer, pero sería mucho más fácil usar una calculadora.
Me temo que no encontrarás una solución fácil a mano. Los métodos numéricos requeridos implicarán o bien muchos números tabulados, o bien un importante cálculo aritmético.
La serie Taylor no requiere ninguna tabla.
Si puede contentarse con una aproximación burda, puede utilizar $$\sin x\approx\frac{4x(\pi-x)}{\pi^2},$$ para $x$ en el rango $[0,\pi]$ . La fórmula es exacta para $0$ , $\pi/2$ y $\pi$ .
Invirtiendo esto último,
$$\arcsin x\approx\frac{\pi}2(1-\sqrt{1-x}).$$
Por desgracia, esto utiliza una raíz cuadrada.
Un resultado más preciso viene dado por los dos primeros términos de Taylor $$\arcsin x\approx x+\frac{x^3}6.$$ Utilícelo para $0<x<\sqrt2/2$ y para $x>\sqrt 2/2$ , se transforman como $$\arcsin x=\frac\pi2-\arcsin\sqrt{1-x^2}.$$
Supongo que es difícil evitar una raíz cuadrada, ya que la derivada se vuelve infinita en $x=1$ .
Si eres capaz de sacar raíces cuadradas, una aproximación algo mejor es $\arcsin x\approx 3x/(2+\sqrt{1-x^2})$ que aprendí de Dios juega a los dados .
Con $t = \sqrt{1-x}$ tenemos $$ \arcsin(x) \approx \dfrac{\pi}{2} - \sqrt{2} \left( t + t^3/12 + 3 t^5/160 + 5 t^7/896\right)$$ que es una aproximación bastante buena, especialmente para $x \ge \sqrt{2}/2$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
5 votos
Su título es contradictorio con su texto.
1 votos
Mi calculadora me dice que $\sin(.5752)=0.544$ no $0.554$ .
12 votos
A juzgar por el hecho de que has publicado una pregunta titulada "¿Cómo hacen las calculadoras...?" con un cuerpo que pregunta "¿Cómo puedo hacer eso a mano...?", pareces estar asumiendo que querrías imitar (a mano) el algoritmo utilizado por tu calculadora. Ese no es necesariamente el mejor algoritmo para calcular a mano, sobre todo porque tu calculadora puede haber "memorizado" muchas "cosas".
1 votos
Curiosamente, las calculadoras suelen utilizar métodos probabilísticos. Esto se debe en gran medida a que truncar las series de potencias puede ser muy ineficiente, ya que hay que almacenar bastantes coeficientes (digamos 10), y luego elevar a potencias grandes. (Sin embargo, siempre puedes deshacerte de un coeficiente utilizando los polis de Chebchev).
0 votos
Los algoritmos CORDIC cubren la mayoría de las funciones trig/exp/log/sqrt... que se encuentran en las calculadoras, con esencialmente el mismo algoritmo. Creo que las calculadoras todavía lo utilizan, así como los procesadores internamente (el algoritmo es rígido y no necesita muchas condiciones, lo que lo hace perfecto para implementarlo en hardware). Sin embargo, las implementaciones de software utilizan diferentes enfoques (aproximantes de Pade, interpolación y esas cosas).
3 votos
Antes de que se generalizaran las calculadoras, los ingenieros utilizaban reglas de cálculo para obtener resultados aproximados, o recurrían a libros que contenían tablas de valores logarítmicos y trigonométricos si necesitaban más precisión, por ejemplo archive.org/details/logarithmictrigo00wilc . No creo que los calculen mucho a mano.