¿Cómo probar este inverso de la desigualdad de Holder?

Question

¿Cómo probar lo contrario de la desigualdad de Hölder?

Deje que $p,q>0,a,b,x,y>0$ y tal $$ \dfrac {1}{p}+ \dfrac {1}{q}=1$$ mostrar que $$ \left (a^p+b^p \right )^{ \frac {1}{p}} \left (x^q+y^q \right )^{ \frac {1}{q}} \le \max {(ax,by)}+ \max {(ay,bx)}$$

Para esta desigualdad no tengo ni idea de qué hacer, porque esta mano derecha es extraña;

Answer 1

Wlog $x\ge y$ y $a\ge b$ . Dividir ambos lados por $ax$ . Diciendo $s=y/x$ y $t=b/a$ tenemos que demostrar que $$(1+t^p)^{1/p}(1+s^q)^{1/q} \le\max(1,st)+\max(s,t)=1+\max(s,t)\quad(s,t\in[0,1]).$$ Pero si $A=\max(s,t)$ entonces $A\le1$ Por lo tanto $$(1+t^p)^{1/p}(1+s^q)^{1/q} \le(1+A^p)^{1/p}(1+A^q)^{1/q}\le(1+A)^{1/p}(1+A)^{1/q}=1+A.$$

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Bono: Tenemos igualdad si y sólo si $x=y$ y $a=b$ .

Para la igualdad en la primera desigualdad anterior necesitamos $s=t=A$ . Ahora para la igualdad en el siguiente paso necesitamos $A=1$ . Por tanto, tenemos igualdad si y sólo si $s=t=1$ .

Answer 2

Utilizando la convexidad de $e^x$ y La desigualdad de Jensen obtenemos $$ \begin{align} (1+x)^a(1+y)^{1-a} &=e^{a\log(1+x)+(1-a)\log(1+y)}\\ &\le ae^{\log(1+x)}+(1-a)e^{\log(1+y)}\\ &=1+ax+(1-a)y\tag{1} \end{align} $$

Por lo tanto, si asumimos $a\ge b$ y $x\ge y$ tenemos $$ \begin{align} \left(a^p+b^p\right)^{\frac1p}\left(x^q+y^q\right)^{\frac1q} &=ax\left(1+\left(\frac ba\right)^p\right)^{1/p}\left(1+\left(\frac yx\right)^q\right)^{1/q}\tag{2}\\ &\le ax\left(1+\frac1p\left(\frac ba\right)^p+\frac1q\left(\frac yx\right)^q\right)\tag{3}\\ &\le ax\left(1+\frac1p\frac ba+\frac1q\frac yx\right)\tag{4}\\ &=ax+\frac1pbx+\frac1qay\tag{5}\\[6pt] &\le ax+\max(bx,ay)\tag{6}\\[12pt] &=\max(ax,by)+\max(bx,ay)\tag{7} \end{align} $$ Explicación:
$(2)$ : factor $a$ de la primera legislatura y $x$ de la segunda
$(3)$ : aplicar $(1)$
$(4)$ : $\frac ba,\frac yx\le1$ y $p,q\ge1$
$(5)$ : distribución
$(6)$ : el combinación convexa de dos números es menor que el mayor de los dos
$(7)$ : eliminar las suposiciones de que $a\ge b$ y $x\ge y$