Paquete de vectores para clases prescritas de Stiefel-Whitney

Question

Espero que esto no sea trivial.

Deje que$B$ sea un buen espacio topológico (paracompacto, complejo CW o lo que crea que es bueno)

Para$i=1,\ldots,n$, sea$x_i \in H^i(B,\mathbb{Z}_2)$ ciertas clases de cohomología.

¿Existe un paquete de vectores$E$ de rango$n$ con$w_i=x_i$?

Por supuesto,$w_i$ es la$i$ - la clase Stiefel Whitney de$E$.

Answer 1

No, porque las fórmulas de Wu expresan$\mathrm{Sq}^j(w_i)$ en términos de$w_k$, por lo que si el$x_i$ que eliges no satisface esta fórmula, no es posible que surjan como clases de Stiefel - Whitney. .

Answer 2

Además de la fórmula de Wu mencionada en la respuesta de Oscar, hay otras obstrucciones que provienen del hecho de que la reducción del mod 2 de$p_i$ (la$i$ th clase Pontryagin) es$w_{2i}^2$. Entonces, sus clases$x_{2i}$ tendrían que satisfacer$\beta(x_{2i}^2)=0$, donde $$\beta: H^{\ast}(B;\mathbb{Z}/2)\to H^{\ast+1}(B;\mathbb{Z})$$ is the Bockstein associated to the coefficient sequence $0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z } / 2 \ a 0$.

(Por cierto, la clase$\beta(x_{2i}^2)$ también es una obstrucción para que$x_{2i}$ se realice mediante una inmersión, consulte aquí ) .