Una fórmula binomial determinante

Question

¿Existe una prueba elemental o existente de la identidad determinante PS \ det_ {1 \ le i, j \ le n} \ left (\ binom {i} {2j} + \ binom {-i} {2j} \ right) = 1 PS

Answer 1

Esto es cierto y, de hecho, puede mostrar un hecho un poco más general:

PS

Es fácil mostrar que esto se evalúa como$$\det_{1\le i,j\le n}\left( \binom{x_i}{2j}+ \binom{-x_i}{2j}\right)=\prod_{i=1}^n x_i^2 \prod_{i<j} (x_j^2-x_i^2) \prod_{j=1}^n \frac{2}{(2j)!}.$ cuando establece$1$. Para probar esto, observe que cada columna es un polinomio par en el$x_i=i$ del grado$x_i$ con el coeficiente principal$2j$. Entonces, las operaciones de columna elementales traerán la matriz en una forma familiar de Vandermonde.

Answer 2

Todavía no tengo una prueba, pero es probable que esta matriz tenga una simple descomposición LU que hace que el determinante obviamente sea$1$.

\begin{multline} \scriptsize\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ 4 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \\\ 9 & 15 & 28 & 45 & 66 & 91 \\\ 16 & 35 & 84 & 165 & 286 & 455 \\\ 25 & 75 & 210 & 495 & 1001 & 1820 \\\ 36 & 141 & 463 & 1287 & 3003 & 6188 \end {pmatrix} \\ \ scriptsize \ hskip1cm = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 5 & 6 & 1 & 0 & 0 \\\ 1 & 7 & 15 & 10 & 1 & 0 \\\ 1 & 9 & 28 & 35 & 15 & 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\\ 0 & 1 & 6 & 20 & 50 & 105 \\\ 0 & 0 & 1 & 8 & 35 & 112 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 10 & 54 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 12 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \ end {multline}

El primer factor parece ser A054142 como una matriz diagonal inferior. El segundo factor parece ser A156308 como matriz diagonal superior.