implica de $\lim_{n\to \infty}f(nx)=0$ $\lim_{x\to \infty}f(x)=0$

Question

¿Alguien puede ayudarme con este problema?

Que $f:[0,\infty)\longrightarrow \mathbb R$ es una función continua tal que para cada $x>0$, tenemos $\lim_{n\to \infty}f(nx)=0$. Luego demostrar que $\lim_{x\to \infty}f(x)=0$.

Nuestro maestro dijo primero a demostrar el teorema de Baire y luego mostrar que esto es una consecuencia de este teorema. Había probado Teorema de Baire y paso horas pensando en cómo Teorema de Baire está relacionado con este problema, pero no pude encontrar nada. Realmente agradeceria su ayuda.

Answer 1

Fix $\epsilon>0$ y poner $F_n:=\left\{x\geq 0,\forall k\geq n, |f(kx)|\leq \varepsilon\right\}$. A continuación, para todos $n$ $F_n$ está cerrado desde $f$ es continua y $\bigcup_n F_n=[0,+\infty[$, así que por Baire teorema podemos encontrar $x_0\geq 0$, $r>0$ y $n_0$ tal que $]x_0-r,x_0+r[\subset F_{n_0}$. Poner $t_0:=n_1x_0$ donde $n_1$ es un número entero $\geq n_0$ tal que $\frac 1{n_1}<r$ y deje $x\geq t_0$. Entonces podemos escribir $x=n_xx_0+\beta$ donde $n_x$ es un número entero $\geq n_1$$0\leq \beta<x_0$. Así $$|f(x)|=|f(n_xx_0+\beta)|=\left|f\left(n_x\left(x_0+\frac{\beta}{n_xx_0}\right)\right)\right|\leq \varepsilon$$ desde $n_x\geq n_1$ $x_0+\frac{\beta}{x_0}\in ]x_0-r,x_0+r[\subset F_{n_0}$ desde $\left|\frac{\beta}{x_0n_x}\right|\leq \frac 1{n_x}\leq \frac 1{n_1}<r$.

Así hemos demostrado que, dado un $\varepsilon>0$, podemos encontrar $t_0$ tal que para $x\geq t_0$, $|f(x)|\leq\varepsilon$.

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El resultado es más fácil de establecer cuando se $f$ se supone uniformemente continua en a $[0,+\infty[$.

Answer 2

También puede estar interesado en este artículo por Timothy Gowers, donde él describe un proceso de pensamiento de cómo uno puede llegar a una prueba elemental de esta declaración (sin utilizar el teorema de Baire).