Evaluar $$\int_{-a\pi}^{a\pi} \frac{\cos^5(x)+1}{e^x+1}dx, \quad a \in \mathbb{N}$$
Al principio, no tenía ninguna idea de cómo resolver esto. La que más tarde se me ocurrió fue intentar utilizar la técnica de Feynman, pero no se me ocurría la función adecuada para la segunda variable.
¿Alguna idea?
Dejemos que $I$ sea nuestra integral. Sustituir $t=-x \Rightarrow dt = -dx$ . Entonces:
$$I=\int_{-a\pi}^{a\pi} \frac{\cos^5 t+1}{e^{-t}+1}\,dt=\int_{-a\pi}^{a\pi} \frac{e^t(\cos^5 t+1)}{e^{t}+1}\,dt=\int_{-a\pi}^{a\pi} \frac{e^x(\cos^5 x+1)}{e^{x}+1}\,dx$$
Por lo tanto:
$$2I=\int_{-a\pi}^{a\pi} \frac{e^x(\cos^5 x+1)}{e^{x}+1}\,dx+\int_{-a\pi}^{a\pi} \frac{\cos^5 x+1}{e^{x}+1}\,dx=\int_{-a\pi}^{a\pi} (\cos^5 x+1)\,dx$$
$$=\bigg[x + \frac{5}{8} \sin(x) + \frac{5}{48} \sin 3 x + \frac{1}{80} \sin 5 x\bigg]_{-a\pi}^{a\pi}=2a\pi$$
Así, $I=a\pi$ .
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