$G$: agrupaciones en espacios afines

Question

Sea$G$ un grupo algebraico conectado. ¿Es cierto que cada$G$ - agrupe en ${\mathbb A}^n$ es trivial? Cual es la referencia? En realidad, solo me interesa el caso$n=2$.

Answer 1

Esto es cierto para$G=GL(r)$, como lo muestran Quillen y Suslin.

Para$G$ arbitrario hay contraejemplos. Sorprendentemente, incluso$G$ - los paquetes superiores a$\textrm{Spec }k$ pueden no ser triviales. Ver el papel

MS Raghunathan

"Paquetes principales en el espacio afín y paquetes en la línea proyectiva",

Mathematische Annalen Volumen 285, Número 2, 309-332

Answer 2

Sobre un campo algebraicamente cerrado, para$G$ conectado y reductivo, cada paquete principal$G$ - en${\Bbb A}^n$ es trivial, también por un teorema de Raghunathan:

"Principales paquetes en el espacio afín", en CP Ramanujam-a tribute , págs. 187-206, Tata Inst. Fondo. Res. Estudios en Matemáticas. 8 (1978).

(Desafortunadamente, no puedo encontrar esta referencia gratis en línea).

Answer 3

En la característica$p$ puedes hacer un contraejemplo fácil con$n=1$, ¿verdad? Una secuencia exacta de grupos algebraicos conmutativos$0\to E\to X\to \mathbb A\to 0$ con$E$ una curva elíptica.