¿Dos series divergentes conspirando?

Question

Considere la secuencia$a_n=2^{2n}\binom{2n}n^{-1}$. La aproximación de Stirling muestra que$a_n\sim \sqrt{\pi n}$, por lo tanto $$\ sum_ {n \ geq0} \ frac {\ pi} {2a_n} \ qquad \ text {y} \ qquad \ sum_ {n \ geq0} \ frac {a_n} {2n + 1}$$ son ambas series divergentes. Sin embargo, su diferencia debería converger con los términos del pedido$\sim\frac1{n^{3/2}}$.

Pregunta. De hecho, ¿es esto cierto? PS

Answer 1

Tenemos $$f (x): = \ sum_ {n \ geq 0} \ frac {x ^ {2n}} {a_n} = \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}$$ y $$g (x): = \ sum_ {n \ geq 0} \ frac {a_n} {2n + 1} x ^ {2n} = \ frac {\ sin ^ {- 1} x} {x \ sqrt {1-x ^ 2}}.$$ Es una rutina calcular que PS y luego aplicar el teorema de Abel .