¿Cuál es el orden del subconjunto más grande de M_n (Z_p) tal que no hay dos elementos que se conmuten?

Question

Deje que$A(n,p)$ sea el orden del subconjunto más grande de$M_n(Z_p)$ de modo que no haya dos matrices distintas en este subconjunto que se muevan. ¿Es cierto que$\lim_{p \to \infty} \dfrac{A(n,p)}{p^{n^2}} =1$? ¿Alguien puede encontrar mejores asintóticos?

Además, ¿qué sucede si arreglamos$p$ y permitimos que$n$ crezca?

(Inspirado en Putnam B3 de 1990)