¿Cuándo un colector es un haz tangente?

Question

Dada una variedad (lisa) $M$ ¿hay alguna propiedad intrínseca suficiente que nos diga que existe una variedad (lisa) $N$ tal que $M$ es difeomorfo a $TN?$ Hay algunas condiciones necesarias obvias (como $M$ tiene que ser par-dimensional), pero me interesa más saber si se conoce alguna condición suficiente.

Answer 1

Supongamos que $M$ es un abierto $2n$ -que es equivalente en homotopía a un maniquí liso cerrado $n$ -manifold $N$ y supongamos que $n>2$ . Entonces el teorema de incrustación de Haefliger asegura que la equivalencia de homotopía $N\to M$ es homotópica a una incrustación suave. Además, por el teorema de reconocimiento del cuello abierto de Siebenmann $M$ es difeomorfo a el haz normal a esta incrustación si y sólo si $M$ es el interior de una variedad compacta con límite tal que la inclusión del límite induce un isomorfismo en el grupo fundamental. Ahora queda por comprobar si el haz normal y el haz tangente a la incrustación son isomorfos, lo que, por supuesto, rara vez ocurre.

Un buen ejemplo es cuando $N$ es un orientable $3$ -manifold y $M=N\times \mathbb R^3$ que es precisamente $TN$ porque orientable $3$ -son paralelizables. Por los argumentos anteriores, dos homotopías orientables equivalentes cualesquiera $3$ -tienen haces tangentes difeomórficos. Se pueden encontrar ejemplos concretos entre los espacios de lentes, como $L(7,1)$ y $L(7,2)$ .

El caso $n=2$ parece más delicada.

Answer 2

Un conjunto de condiciones necesarias:

Paso 1: necesitas $M$ para tener el tipo de homotopía de un submanifold $N$ la mitad de la dimensión de $M$ . Esto obliga a $M$ para ser un haz de vectores sobre $N$ con la fibra de la misma dimensión que la base con alguna hipótesis razonable (ver textos sobre el teorema del h-cobordismo, como el de Kosinski, donde se demuestran este tipo de teoremas).

Paso 2: Dado un haz vectorial, ¿cómo saber si es el haz tangente del espacio base? Para ello necesitas un mapa exponencial, o demostrar que el haz vectorial es difeomorfo a una vecindad tubular de $\Delta N$ en $N \times N$ . O puede comparar el mapa de clasificación de $TN$ con la de su estructura de haces vectoriales en $M$ .