¿Si $M\oplus M$ es gratis, es $M$ gratis?

Question

Si $M$ es un módulo sobre un anillo comutativo $R$ $1$, ¿$M\oplus M$ libre, implica $M$ es gratis? Pensé esto debe ser cierto pero no recuerdo por qué, y no he podido de encontrar un contraejemplo.

Pido disculpas si esto ya ha sido contestado en otra parte.

Answer 1

Esto no es cierto, en general. Los módulos de $M$ que se producen como sumandos directos de un módulo son precisamente los módulos proyectivos, que no son en general de forma gratuita.

El más simple de contra-ejemplo es, probablemente, el ideal generado por a $2$ $1+\sqrt{-5}$ en el ring $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$, que es proyectiva sobre$\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$, pero no gratis.

Si desea una geométricas ejemplo, cuando una situación similar se produce un error, considerar la tangente paquete de la esfera. No es gratis, por ejemplo porque no tiene nonvanishing sección (peludo teorema de la bola). Pero su suma con el paquete normal de la esfera (sentado en $\mathbf R^3$) es gratis, porque no es sólo la restricción a la esfera de la tangente paquete de $\mathbf R^3$ (que es gratis). (Por supuesto, estos no son los mismos como los módulos a través de un anillo, pero el fenómeno es el mismo.)

Edit: Ah, me acabo de dar cuenta que había escrito $M\oplus M$, en lugar de $M\oplus N$. Resulta que el ejemplo que he proporcionado anteriormente en $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ trabaja para que así (porque el grupo de Grothendieck de un dominio de Dedekind (o más precisamente de su categoría finito de módulos proyectivos) es isomorfo a su ideal del grupo de clase (sumadas con una copia de $\mathbf Z$). Creo que esto es lo que Vahid de abajo estaba tratando de decir: un módulo cuyo cuadrado es libre, en este caso, es simplemente un módulo cuya clase en $K_0$ $2$- torsión).

Answer 2

Esto significa que no hay ningún elemento de orden 2 en un $K$-grupo, que claramente no es correcto. Para encontrar un ejemplo, puede tratar de encontrar un anillo $R$ tal que $K_0(R)$ tiene un elemento de orden 2. Como un ejemplo relacionado con mi interés en la investigación, puedo decir $K_0(C(\mathbb{RP}^2))= \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, ver Karoubi 1978, IV.6.47.

Answer 3

Ideales inversible $I,J$ del anillo Dedekind $R$, es bien sabido que $I \oplus J \cong R \oplus I \cdot J$ (véase, por ejemplo de mayo notas sobre Dedekind anillos, Prop 6.4). Para el ideal $I = (2,1+\sqrt{-5})$ $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tenemos $I^2=(4,2+2 \sqrt{-5},-4+2 \sqrt{-5})=(2) \cong R$. Por lo tanto, $I \oplus I \cong R^2$ es gratis, pero $I$ no es gratis, ya que es invertible y no principal.