¿La media de las muestras sigue siendo una muestra válida?

Question

Supongamos que muestre $n$ veces de una distribución $$ x_1, \ ldots, x_n \ sim p_ \ theta (x) $$ ¿La media de las muestras es siempre una muestra válida de la distribución objetivo? Es decir, $\overline{x}$ es una muestra válida de $p_\theta(x)$ $$ \ overline {x} = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i $$

Answer 1

No, $\bar x$ tiene su propia distribución de muestreo. Tomemos, por ejemplo, las variaciones de $\bar x$ y $x_i$ , en las que el primero es siempre menor ( $\leq$ ) que el segundo, lo que significa que $\bar x$ no se muestrea de $p_\theta(x)$ .

Answer 2

Buenos ejemplos hasta ahora, pero considere $$X_i \sim Bernoulli(.5)$ $

En ese caso, la distribución de los datos solo tendrá soporte en 0 y 1. Pero la media de la muestra tendrá una probabilidad cada vez menor de tomar un valor de 0 o 1 a medida que el tamaño de la muestra sea cada vez mayor. Eso por sí solo debería mostrar que la media no se toma como muestra de la distribución original.

Answer 3

Como ejemplo aún más patológico, considere una muestra de la distribución que es uniforme en la unión de $[0,1]$ y $[3,4]$ . A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la media tenderá a 2, lo que ni siquiera respalda la distribución . Otro ejemplo similar es la distribución uniforme en el límite de la esfera unitaria (en cualquier número de dimensiones)

Answer 4

No, solo es válido en casos como la distribución de Cauchy, las medias de las muestras de Cauchy siguen la misma distribución de Cauchy.

Answer 5

No. Suponga que tiene $X_1, X_2 \sim N(0,1)$ . Luego, $$ \ bar {X} = \ dfrac {X_1 + X_2} {2} \ sim N \ left (0, \ dfrac {1} {2} \ right) \ ,. $$

Pero $N(0,1) \ne N(0, 1/2)$ .