Dejemos que $M_1$ y $M_2$ sean dos simétricos $d\times d$ matrices. ¿Cuál es la relación entre $tr(M_1M_2M_1M_2)$ y $tr(M_1^2 M_2^2 )$ ?
P.D. He probado algunos ejemplos y he encontrado $$ tr(M_1M_2M_1M_2) \le tr(M_1^2 M_2^2 ) $$ parece ser siempre cierto. ¿Existe un teorema?
La Wikipedia insiste en que algo así se llame Araki-Lieb-Thirring , no sólo Lieb-Thirring . Su resultado por el último nombre parece no tener relación, y su resultado por el primer nombre requiere que las matrices sean positivas definidas, además de considerar $B A B$ en lugar de $A B$ . ¿Existe alguna otra versión que elimine estas diferencias?
Así que la prueba es $tr(ABAB) = tr( (A^{1/2} B A^{1/2})^2) \leq tr(A^{1/2} B A^{1/2})^2 = tr(AB)^2 \overset{ALT}{\leq} tr(A^2 B^2)$ ¿Si?
@LSpice Araki demostró una desigualdad más general (véase link.springer.com/article/10.1007%2FBF01045887 ); en este caso basta con el resultado más sencillo de Lieb-Thirring de 1976.
No quiero quitarle nada a la respuesta de Suvrit, pero esto es en realidad mucho más sencillo. En primer lugar, podemos suponer $M_1$ es diagonal. Llámalo $diag(x_1, \dotsc, x_i).$ Entonces la diferencia entre el LHS y el RHS es
$$\sum_{i> j} a_{ij}^2 (x_i - x_j)^2,$$ donde el $a_{ij}$ son las entradas de $M_2.$
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No lo hay. Prueba con las unidades matriciales $M_1 = E_{12}, M_2 = E_{21} \in \mathbb M_2$ . Entonces el LHS es 1 y el RHS es 0.
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Oh. Lo siento, debería haber añadido la condición de simetría. He corregido la declaración.