Demostrando que$8^x+4^x\geq 5^x+6^x$ para$x\geq 0$.

Question

Quiero demostrar que $$8^x+4^x\geq 6^x+5^x$$ for all $ x \ geq 0 $ . ¿Cómo puedo hacer esto?

Mi intento:

Lo intento por AM-GM: $$8^x+4^x\geq 2\sqrt{8^x4^x}=2(\sqrt{32})^x.$ $

Sin embargo, $\sqrt{32}\approx 5.5$, así que no estoy seguro de si $$2(\sqrt{32})^x\geq 5^x+6^x$ $ es cierto.

Además, trato de calcular derivadas, pero esto no simplifica el problema. ¿Que puedo hacer?

Answer 1

Utilizar: $$ 4 ^ x \ left (\ left (\ frac 32 \ right) ^ x-1 \ right) \ left (\ left (\ frac 43 \ right) ^ x-1 \ right) \ ge 0 $$ por $x\ge 0$ .

Answer 2

Insinuación. Sea $f(t)=t^x$ y luego por el Teorema del valor medio hay $t_1\in (6,8)$ tal que PS Del mismo modo, hay $$f(8)-f(6)=f'(t_1)(8-6)\Leftrightarrow 8^x-6^x=2xt_1^{x-1}.$ tal que PS Queda por mostrar que para $t_2\in (4,5)$ PS

Answer 3

La función $u\mapsto u+{1\over u}$ aumenta para $u\geq1$ . Por lo tanto tenemos para todos $x\geq0$ la cadena de desigualdades PS