Ecuación diofántica

Question

Cómo resolver una ecuación diofántica como$$3^n-1=2x^2$$. One can easily see that the parity of $ n$ and $ x$ will be same and equation further can be seen taking if $$n\equiv0\pmod3\quad \text{then }x \equiv0\pmod{13} $ $ pero no sé qué hacer más.

Answer 1

Una forma estándar (aunque posiblemente no la más eficiente) de resolver ecuaciones de este tipo es encontrar todos los puntos enteros en cada una de las curvas elípticas. PS A continuación, elija las soluciones que tienen$$ E_1: X^3-1=2Y^2,\quad E_2:3X^3-1=2Y^2,\quad E_3:9X^3-1=2Y^2. $ igual a una potencia de$X$. Estos luego dan las soluciones a su ecuación con$3$ y$3^n=X$. Encontrar todas las soluciones enteras en curvas elípticas con coeficientes pequeños es, en estos días, bastante estándar e incluso está integrado en muchos sistemas de álgebra por computadora.