¿Puede un politopo convexo con facetas %-%-% tener más de % -%-% facetas cuando se proyecta en %-%-%?

Question

Deje que %-%-% sea un politopo convexo en %-%-% con los vértices %-%-% y las facetas %-%-%. Deje que %-%-% denote la proyección de %-%-% en %-%-%.

¿Puede %-%-% tener más de % - % % facetas?

En el caso general, cada proyección sucesiva puede aumentar el número de facetas de %-%-% a %-%-%,pero me pregunto si %-%-% es un caso especial.

Answer 1

Tenga en cuenta el politopo en %-%-% con los vértices %-%-% en las coordenadas %-%-%. Geométricamente, esto se parece a un cubo en el que la cara superior se estira en la dirección del eje %-%-%-y la cara inferior se estira en la dirección del eje %-%-%,pero todavía tiene la estructura de cara de un cubo y, en particular, tiene facetas %-%-%.

Su proyección en las dos primeras coordenadas es claramente un octágono, y por lo tanto tiene dos facetas más que el politopo original.

Answer 2

Otro, combinatoriamente mínimo, contraejemplo de tal politopo %-%%(con sólo cinco facetas) es el casco convexo de los seis vértices %-%-%, %-%-%. Su proyección al plano %-%-%-%es un hexágono. La minimalidad del número de vértices y el número de facetas es fácil de probar.