Intuición de la conexión Levi-Civita mediante flujos hamiltonianos

Question

Una métrica riemanniana en una variedad $X$ define una función sobre el espacio simpléctico $T^*X$ cuyo flujo hamiltoniano da geodésicas. ¿Existe una interpretación similar de la conexión Levi-Civita?

Answer 1

Creo que estás pidiendo una interpretación simpléctica del desdoblamiento del haz tangente de $T^\ast M$ que es inducida por la conexión Levi-Civita en una Riemanniana $n$ -manifold $(M,g)$ . Es decir, saber cómo se puede ver, a partir de la geometría simpléctica del haz cotangente y la información del hamiltoniano, el desdoblamiento $T(T^\ast M) = D\oplus V$ , donde $D$ es el $n$ -campo del plano que es transversal a $V$ el haz tangente a las fibras de $\pi:T^\ast M\to M$ que tiene la propiedad de que el transporte paralelo de covectores con respecto a la conexión Levi-Civita da curvas en $T^\ast M$ que son tangentes a $D$ .

Hay una forma sencilla de conseguir $D$ en este caso: Establecer $\gamma = \pi^\ast g$ y que $\dot \gamma$ sea la derivada de Lie de $\gamma$ con respecto al campo vectorial hamiltoniano asociado al hamiltoniano $H$ calculado a partir de $g$ . Entonces $\dot\gamma$ es una forma cuadrática no degenerada en $T^\ast M$ de tipo dividido $(n,n)$ y se puede demostrar fácilmente que $D\subset T(T^\ast M)$ es el único $n$ -que es lagrangiano, transversal a $V$ y $\dot\gamma$ -nula.

Antecedentes históricos: Este tipo de construcción fue discutida a fondo por Patrick Foulon en su tesis (de mediados de los 80) y, sí, algo así funciona de forma más general para las geometrías pseudo-riemannianas y de Finsler (ver más abajo). El ingrediente extra clave, además de conocer la forma simpléctica $\omega$ y el Hamiltoniano $H$ es que también hay que conocer la foliación lagrangiana $\mathcal{F}$ que se define por las fibras de $\pi:T^\ast M\to M$ . Con sólo esto, se puede construir el complemento $n$ -campo plano $D$ (que, por supuesto, es lagrangiano pero no integrable) de forma canónica. Así, se sabe lo que significa tener un "transporte paralelo" en estos casos más generales.

É. Cartan hizo algo en este sentido en su libro sobre la geometría de los espacios de Finsler, pero no está escrito de forma moderna, por lo que es un poco difícil de leer para la mayoría de los geómetras de hoy en día.

Esta es una forma de describir la construcción: Los datos de partida son $(X,\omega,\mathcal{F},H)$ , donde $X$ es un colector de dimensión $2n$ , $\omega$ es una forma simpléctica en $X$ , $\mathcal{F}$ es un $\omega$ -Foliación lagrangiana, y $H$ es una función sobre $X$ . El objetivo es construir un $n$ -campo plano $D\subset TX$ es decir $\omega$ -Lagrangiano y transversal a $\mathcal{F}$ de forma canónica. Esto requerirá hacer una suposición de no degeneración en $H$ por ejemplo, es evidente que no se puede hacer si $H$ es constante.

Ahora, los datos $(X,\omega,\mathcal{F})$ no tiene geometría local, en el sentido de que todas las foliaciones lagrangianas de una variedad simpléctica son localmente equivalentes. Esto significa que, localmente, siempre se pueden elegir coordenadas canónicas $(q,p)=(q^i,p_i)$ en la que la forma simpléctica $\omega$ es $dp_i\wedge dq^i$ y las hojas de $\mathcal{F}$ vienen dadas por $dq^i=0$ . Consideremos las derivadas de $H$ en estas coordenadas: Definir $H^i$ y $H^{ij}=H^{ji}$ por las condiciones $$dH \equiv H^i\ dp_i\ \text{mod}\ dq\qquad\text{and}\qquad dH^i \equiv H^{ij}\ dp_j\ \text{mod}\ dq$$ Es fácil comprobar que, si uno hiciera una elección diferente $\bar q = F(q)$ para el $\mathcal{F}$ -coordenadas nulas y completas a la canónica $\omega$ -con un nuevo $\bar p$ entonces la fórmula de cambio de variables jacobiana da como resultado $$\bar H^{ij} d\bar p_i\circ d\bar p_j \equiv H^{ij}\ dp_i\circ dp_j\ \text{mod}\ dq$$ para que la forma cuadrática $\eta_H = H^{ij}\ dp_i\circ dp_j$ está bien definida en las hojas de $\mathcal{F}$ . (Lo que ocurre aquí es que, para cualquier foliación lagrangiana $\mathcal{F}$ en una variedad simpléctica $M$ existe una conexión plana canónica y sin torsión en cada hoja de $\mathcal{F}$ . La forma cuadrática $\eta_H$ no es más que el hessiano de las hojas de $H$ con respecto a esta conexión canónica).

Digamos que $H$ es $\mathcal{F}$ - no degenerado si $\eta_H$ es una forma cuadrática no degenerada (es decir, una métrica pseudo-riemanniana) en cada $\mathcal{F}$ -hoja.

A partir de ahora, asuma que $H$ es $\mathcal{F}$ -nodegenerado. Sea $G = (G_{ij})$ sea la matriz inversa de $(H^{ij})$ . La fórmula de cambio de variables muestra entonces que la forma cuadrática $$\gamma_H = G_{ij}\ dq^i\circ dq^j$$ está bien definida en $X$ independientemente de la elección de las coordenadas. (Lo que ocurre aquí es que, para cada $x\in X$ con $V_x\subset T_xX$ siendo la tangente a la $\mathcal{F}$ -Hacia adelante $x$ se tiene un isomorfismo canónico ${V_x}^\ast \simeq T_xX/V_x$ y $\gamma_H$ en $x$ es simplemente la forma cuadrática canónica sobre $T_x/V_x$ inducido por este isomorfismo de la forma cuadrática dual canónica $\eta_H^\ast$ (en ${V_x}^\ast$ ) de la forma cuadrática $\eta_H$ en $V_x$ .)

Dejemos que $\dot\gamma_H$ denotan la derivada de Lie de $\gamma_H$ con respecto al campo vectorial hamiltoniano $X_H$ . Ahora se puede comprobar fácilmente que $\dot\gamma_H$ es una forma cuadrática no degenerada de tipo $(n,n)$ en $X$ . Además, existe un único $n$ -campo plano $D\subset TX$ en $X$ que es transversal a las hojas de $\mathcal{F}$ El lagrangiano con respecto a $\omega$ y nulo con respecto a $\dot\gamma_H$ . Este $D$ es la división deseada.

Ejemplo: Como se dijo al principio, en el caso de que $g$ es una métrica pseudo-riemanniana sobre $M^n$ cuando se define el hamiltoniano asociado $H$ en $X=T^\ast M$ entonces se encuentra que $\gamma_H$ es simplemente ${\pi^\ast}g$ y luego $D$ es efectivamente el campo plano en $T^\ast M$ inducido por la conexión Levi-Civita.

Observación: Nótese que, en el caso pseudo-riemanniano, $\gamma_H$ se expresa en términos de la métrica original sin utilizar derivadas, de modo que $D$ que se define algebraicamente a partir de $\dot\gamma_H$ utiliza sólo una derivada de la métrica, lo cual es lo que debería ser, ya que la conexión Levi-Civita sólo depende de una derivada de la métrica. Sin embargo, en el caso general descrito anteriormente, $\gamma_H$ depende de dos derivadas de $H$ y luego $\dot\gamma_H$ depende de tres derivados. Así, por ejemplo, en el caso general, la llamada "conexión no lineal" en la geometría de Finsler depende de tres derivadas de la estructura de Finsler, y la "curvatura" depende de cuatro derivados. Esta es una de las razones por las que el caso general de Finsler es más difícil de estudiar que el caso de Riemann.

Answer 2

La intuición es que la conexión Levi-Civita corresponde a la linealización del flujo geodésico más una simple construcción proyectiva-geométrica:

Dejemos que $c(t)$ sea una órbita del flujo geodésico (proyectando hacia abajo a una geodésica), considere los subespacios verticales $V(t)$ a lo largo de $c(t)$ y llevarlos de nuevo al espacio tangente del haz cotangente sobre el punto c(0) utilizando la diferencial del flujo. Se obtiene una familia de subespacios (lagrangianos) $l(t) := D\phi_{-t}(V(t))$ que es "abanico" o "regular".

Ahora olvídate de que tienes un flujo geodésico: todo lo que necesitas es la curva de subespacios. Un poco de geometría diferencial proyectiva muestra que también se obtiene una segunda curva $h(t)$ de (subespacios lagrangianos) en $T_{c(0)}(T^*M)$ que es transversal a $l(t)$ . El subespacio h(0) es el subespacio horizontal de la conexión y $T_{c(0)}(T^*M) = l(0) \oplus h(0)$ es la descomposición en subespacios verticales y horizontales.

Creo que esto está muy bien escrito en este documento ;-)

Sin embargo, esto es clásico: es sólo la geometría detrás de la derivada de Schwartz. Hay un montón de referencias en el documento si estás interesado en esto.

Apéndice sobre la geometría de la derivada de Schwartz.

Dado que la derivada de Schwartz tiene muchas interpretaciones geométricas "estándar", para completar la información, esbozaré la (¿nueva?) a la que me refiero. Lo haré de una manera un poco más conceptual que la que hicimos Duran y yo en el artículo. En realidad, es sólo una versión "de alto nivel" de lo que se hizo en el documento, pero lo haré aquí sólo para las curvas en la línea proyectiva. El lector puede divertirse extendiendo esto a curvas en el Grassmanniano de $n$ -aviones en $\mathbb{R}^{2n}$ y comprobarlo con el papel.

Consideremos la acción del grupo lineal $GL(2;\mathbb{R})$ sobre la recta proyectiva y elevarla a una acción sobre su haz cotangente. El mapa de momentos de esta acción toma valores en el conjunto de matrices nilpotentes. De hecho, si se quita la sección cero, el mapa de momentos toma valor en la órbita coadjunta formada por $2 \times 2$ matrices nilpotentes de rango uno. En dimensiones superiores, hay que quitar un poco más de la sección cero y "rango uno" se sustituye por "el núcleo y la imagen de la matriz (vista como transformación lineal) son iguales".

También necesitaremos una cosa muy interesante sobre la geometría del espacio tangente de la recta proyectiva: hay una forma canónica de identificar vectores tangentes no nulos con covectores no nulos. De hecho, el espacio tangente de la recta proyectiva en una recta $\ell$ es el espacio de los mapas lineales entre $\ell$ y el espacio del cociente $\mathbb{R}^2/\ell$ que es el producto tensorial $(\mathbb{R}^2/\ell) \otimes \ell^*$ . Si el mapa es invertible, su inverso es un mapa de $\mathbb{R}^2/\ell$ a $\ell$ y, por tanto, un elemento de $\ell \otimes (\mathbb{R}^2/\ell)^*$ que es el espacio cotangente en $\ell$ .

Consideremos ahora una curva $\gamma(t)$ en la línea proyectiva cuya derivada nunca desaparece. Elevamos la curva a la curva $\dot{\gamma}(t)$ en el haz tangente y utilizar el isomorfismo descrito anteriormente para obtener una curva $\Gamma(t)$ en la cotangente de la recta proyectiva. Utiliza el mapa de momentos para obtener una curva $F(t)$ de matrices nilpotentes. Nótese que todo lo que hemos hecho es proyectivo-equivariante.

Finalmente llegamos al pequeño milagro: la derivada temporal de $F(t)$ es una curva de reflexiones $\dot{F}(t)$ (es decir, $\dot{F}(t)^2 = I$ ) cuyo eigespacio -1 es la curva de líneas $\gamma(t)$ y cuyo $1$ -el espacio eigénico define una "curva horizontal" $h(t)$ adjunta equitativamente a $\gamma(t)$ . Esta es la construcción que da lugar a la conexión Levi-Civita (y lo que está detrás de los formalismos de Grifone y Foulon para las conexiones de las EDO de segundo orden en las variedades).

Diferenciar $F(t)$ una segunda vez para encontrar la derivada de Schwartz. Geométricamente, sólo describe cómo la curva $h(t)$ se mueve con respecto a $\gamma(t)$ . Para comparar, recordemos que la curvatura de una conexión se obtiene diferenciando (es decir, poniendo entre paréntesis) los campos vectoriales horizontales y proyectándolos sobre el haz vertical.

Answer 3

No sé si esta es la respuesta que quieres ya que a mi entender es bien conocida: Si tenemos una métrica riemanniana $g$ en $M$ es decir, una forma bilineal (no degenerada) en cada $T_xM$ , entonces podemos identificar canónicamente los haces tangentes y cotangentes $T_xM \stackrel{g}{=}T^*_xM$ y por lo tanto tienen una estructura euclidiana en $T^*_xM$ que denotamos por $g^*$ . En las coordenadas, la matriz de esta estructura euclidiana es la inversa de $g$ .

Consideremos ahora el hamiltoniano en $T^*M$ , $H:T^*M\to R$ , $H(x, p)= g_x^*(p, p)$ . En las coordenadas, $H= g^{ij}p_ip_j$ . Entonces, la proyección de las soluciones del sistema de Hamilton de la EDO son geodésicas, exactamente como en el caso euclidiano.

Se puede obtener la observación anterior mediante cálculos directos. Si se tiene experiencia con la teoría variacional, la explicación de la observación anterior es la siguiente: las geodésicas son curvas localmente más cortas, por lo que son extremos del correspondiente funcional de Largange, y por tanto corresponden a las soluciones de una ecuación de Hamilton.

Lo mismo ocurre en el caso pseudo-riemanniano y en la categoría finsleriana.