Rango y volumen hiperbólico

Question

Suponga que$M$ es una variedad hiperbólica$3$ - cuyo grupo fundamental tiene rango$r.$ ¿Cuál es el mejor límite (inferior) en el volumen de$M?$ Pregunta similar para el rango de$H_1.$ Hay un montón de artículos de Culler y Shalen sobre temas relacionados, pero parece que les preocupan las variedades "pequeñas", mientras que esta pregunta es más sobre la dependencia asintótica.

Answer 1

Consulte el teorema de representación de Riesz, por ejemplo en$\textit{Real and Complex Analysis}$ de Rudin en la página 40. Al menos en la forma presentada en Rudin, si$X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto y$\Lambda$ es un lineal funcional en$C_c(X)$, las funciones continuas con soporte compacto, entonces existe un álgebra sigma única y una medida única en el álgebra tal que$\int_X f \ d\mu = \Lambda(f)$ para todo$f \in C_c(X)$.