Suponga que$X$ es un espacio métrico. ¿Es la familia de todas las funciones uniformemente continuas de valor real en$X$ densa en el espacio de todas las funciones continuas con respecto a la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sí, y aún más es cierto. El argumento es el siguiente: sea$f\colon X \to \mathbb R$ una función continua y$K\subset X$ sea un conjunto compacto. Entonces$f|_K$ es uniformemente continuo; sea$\omega$ su módulo de continuidad subaditivo no decreciente. Según la fórmula de extensión de McShane-Whitney, $f|_K$ admite una extensión uniformemente continua a$X$ con el mismo módulo, más concretamente,$$F(x)=\inf\{f(k)+\omega(d(k,x))\colon k\in K\}$$ is this extension which is uniformly continuous on the whole $ X $.
Brady
Puntos
273
Si. Para cualquier subconjunto compacto$K\subset X$ considere una extensión uniformemente continua de$f_{|K}$ (existe tal extensión incluso con el mismo módulo de continuidad subaditivo, ver aquí ). Esto muestra que las funciones uniformemente continuas en$X$ son un subespacio denso de$C(X)$ en la topología de uniforme convergencia sobre compacta.
Darren
Puntos
253
Si$R/(p)$ es un dominio, entonces eso implica que$p$ es primo en$R$ ( ver el artículo de Wikipedia ). En otras palabras, un elemento es primo precisamente cuando el ideal que genera es primo, que es el caso precisamente cuando el cociente de ese ideal produce un dominio integral. Si asume que$x^2+3$ es irreducible, entonces tiene eso PS es un dominio integral (de hecho, un campo en este caso).
