Sea $F$ sea un grupo libre (finitamente generado), $H \leq F$ de índice infinito. ¿Es posible que $$ \bigcup_{g \in F} gHg^{-1} = F?$$
Respuesta
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El problema de caracterizar grupos que son unión de conjugados de un subgrupo propio fue considerado en algunos trabajos de Wiegold y otros. En particular, se puede consultar
Grupos transitivos con permutaciones libres de punto fijo , Archiv der Mathematik 27 (1976), 473-475.
Grupos cubiertos por conjugados de subgrupos propios Journal of Algebra 293 (2005), 261-268.
Resulta que la respuesta a su pregunta es sí .
De hecho, ya el grupo libre sobre dos generadores $F_2 = \langle a, b \rangle$ puede ser cubierto por los conjugados de uno de sus subgrupos propios. Esto se muestra en el primer documento vinculado anteriormente, véase el Ejemplo 3.1 página 474.
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mathoverflow.net/questions/34044/ muestra que un grupo puede ser una unión de conjugados de subgrupos propios. Escribe ese grupo como cociente de un grupo libre y toma preimágenes.
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Tienes razón (ahora he editado la pregunta), pero me interesa sobre todo el caso finitamente generado. ¿Puede ocurrir algo parecido ahí?
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La respuesta es "No" es $H$ está finitamente generada. Es decir, un grupo f.g. libre no puede ser igual a la unión de conjugados de un subgrupo f.g. propio. Esto se debe a que cualquier subgrupo f.g. $H$ de un grupo libre $F$ es cerrado en la topología profinita, por lo que existe un mapa $\phi$ de $F$ sobre un grupo finito $K$ s.t. $\phi(H) \neq K$ . A partir del resultado para grupos finitos, mencionado en mathoverflow.net/preguntas/34044 se deduce que $K$ no puede ser igual a la unión de conjugados de $\phi(H)$ lo que implica lo mismo sobre $F$ y $H$ .
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Sí, esto estaba claro para mí. De hecho, esto es cierto si $H$ sólo está contenida en un subgrupo abierto propio.