¿Las funciones con el mismo gradiente se diferencian por una constante?

Question

Dejemos que $f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ sea tal que $\nabla f=\nabla g$ .

Creo que esto implica que $f$ y $g$ sólo difieren en una constante, como en el caso unidimensional. Pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Si efectivamente es cierto, ¿puedes darme una pista?

Gracias.

Answer 1

[Aviso de spoiler, esto es más que una pista. Quería mostrar este método porque evita trabajar con componentes].

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Supongamos primero que $h:\mathbb R^n \to \mathbb R$ es diferenciable y que $\nabla h(x) = 0$ para todos $x \in \mathbb R^n$ . Voy a demostrar que $h$ es constante. Supongamos (para una contradicción) que existen puntos $a$ y $b$ en $\mathbb R^n$ tal que $h(a) \neq h(b)$ . Sea $z:[0,1] \to \mathbb R$ sea la función definida por $$ z(t) = h(a + t(b - a)). $$ Tenga en cuenta que $z$ es continua en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$ y que $z(0) \neq z(1)$ . Por el teorema del valor medio, existe un número $c$ tal que $0 < c < 1$ y $$ z'(c) = z(1) - z(0) \neq 0. $$ Pero, por la regla de la cadena, $$ z'(c) = \langle \nabla h(a + c(b -a)), b - a \rangle $$ que es $0$ porque estamos asumiendo que $\nabla h(x) = 0$ para todos $x$ en $\mathbb R^n$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, $h$ es constante.

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A continuación, para resolver el problema original, dejemos $h = f - g$ y aplicar el resultado anterior.

Answer 2

Si $\nabla f=\nabla g$ entonces $\frac{\partial f}{\partial x_k}=\frac{\partial g}{\partial x_k}$ para todos $k\in\{1,\ldots,n\}$ . Por lo tanto, existe $c_k(x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_n)$ tal que $f=g+c_k$ . Y, por $l\neq k$ tenemos $$ \frac{\partial c_k}{\partial x_l}=0 $$ y por lo tanto $dc_k=0$ y $c_k$ es una constante. El valor de $c_k$ entonces no depende de $k$ ya que para todo $k,l$ , $f-g=c_k=c_l$ . Por lo tanto, existe una constante $c$ tal que $f=g+c$ .

Answer 3

SUGERENCIA: Integrar ambos lados de

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\cdots= \vec{\nabla f}\cdot \vec{dl}=\vec{\nabla g}\cdot \vec{dl}=dg$

EDITAR: Como señala @peek-a-boo, esto sólo funciona si las funciones en cuestión tienen una derivada integrable (así, por ejemplo, una condición suficiente es que $f$ para ser $C^1$ (es decir, continuamente diferenciable).

Answer 4

Sí, eso es correcto. Resuelve cada ( $1$ -dimensional) ecuación $\partial{f}/\partial{x_i} = \partial{g}/\partial{x_i}$