¿Cómo resolver este problema de probabilidad analíticamente (en lugar de usar simulación)? Probabilidad de que Bill gane el juego si va primero

Question

Aquí está la configuración del problema:

Dos personas juegan un juego de lanzar pelotas a un alfiler. Sally golpea el alfiler el 70% de las veces que lanza, y Bill golpea el alfiler el 40% de las veces que lanza. El juego lo gana la persona que golpea el objetivo primero. Si Bill lanza primero cada vez, calcule la probabilidad de que gane.

Con la simulación, obtengo que la probabilidad de ganar de Bill sea de alrededor de 0,52 (redondeando a dos lugares decimales). ¿Cómo solucionar este problema analíticamente?

Answer 1

Una solución algo más corta: demuestre por inducción que PS Entonces, obviamente,$$a_n=2\cos \left(2^{-1-n}\pi\right).\tag{1}$.

---

Agregado : para comprender el origen de (1), sustituya$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=2$ en la relación de recursividad.