¿Has visto este producto alguna vez?

Question

Dado$k$, ¿cuál es el valor del siguiente producto? PS Claramente para$$\prod_{p\textrm{ prime}}\left(1-\frac{k}{p^2}\right).$, tenemos$k=1$(donde$\zeta(2)^{-1}$ es la función Riemann Zeta).

Answer 1

Comentario elemental. Para un número real fijo$x$, defina una función multiplicativa$f(x;n)$ de la siguiente manera. Factoriza$n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ y establece$f(x;n)=x^{e_1+\cdots+e_r}$. Luego $$\ prod \ left (1- \ frac {x} {p ^ s} \ right) ^ {- 1} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {f (x; n)} {n ^ s }.$$ La función$n\to e_1+\cdots+e_r$ que cuenta el número de divisores primos de$n$ con multiplicidad debe aparecer en muchos lugares, pero no recuerdo haberla visto así en una serie de Dirichlet.

Answer 2

Un cálculo estándar sería mediante

PS

Puede iterar este método hasta que tenga un término de error aceptable. Lo sé, esta no es la respuesta que pediste, pero sería una estimación.