El general es el teorema: para todo extraño, diferente de la de los números primos $p, q$, el siguiente se tiene: $$\left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$$
He descubierto la siguiente prueba para el caso de $q=3$: Considere la posibilidad de la transformación de Möbius $f(x) = \frac{1}{1-x}$, definido en $F_{p} \cup {\infty}$. Es un bijection de orden 3: $f^{(3)} = Id$.
Ahora vamos a contar el número de puntos fijos de $f$, modulo 3:
1) podemos calcular el número de soluciones a $f(x) = x$: es equivalente a $(2x-1)^2 = -3$. Desde $p \neq 2,3$, el número de soluciones es $\left( \frac{-3}{p} \right) + 1$ (si $-3$ no es una plaza, no hay solución. Otra cosa, hay 2 soluciones distintas, que corresponden a 2 distintas raíces de $-3$).
2) sabemos que la estructura de $f$ como una permutación: solo el 3-ciclos o puntos fijos. Así, el número de puntos fijos es sólo $|F_{p} \cup {\infty}| \mod 3$, o: $p+1 \mod 3$.
La combinación de los 2 resultados de los rendimientos de $p = \left( \frac{-3}{p} \right) \mod 3$. La explotación de Euler criterio da $\left( \frac{p}{3} \right) = p^{\frac{3-1}{2}} = p \mod 3$, y el uso de $\left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$, obtenemos: $$\left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{p}{3} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{3-1}{2}} \mod 3$$ y la igualdad en $\mathbb{Z}$ sigue.
Mis preguntas:
- Puede que esta idea se generaliza, con otras funciones $f$?
- Hay una lista\artículo de pruebas para casos especiales del teorema?
