La afirmación de que los mapas sobreyectivos son epimorfismos en la categoría de conjuntos puede mostrarse de manera constructiva.
¿Qué pasa con la inversa?
¿Es posible mostrar que todo epimorfismo en la categoría de conjuntos es sobreyectivo sin volver a una prueba por contradicción / negación?
Teorema: Todo epi es sobreyectivo.
Prueba. Sea$h : A \to B$ un epimorfismo. Definimos mapas$f, g : B \to \mathcal{P}(B)$ por \begin{align*} f(b) &= \{b\} \cap \mathrm{im}(h)\\ g(b) &= \{b\} \end{align*} donde recordamos que$\mathrm{im}(h) = \{b \in B \mid \exists a \in A \,.\, h(a) = b\}$.
Por cada$a \in A$ tenemos$f(h(a)) = \{h(a)\} = g(h(a))$, por lo tanto$f = g$ como$h$ es epi. Ahora, por cada$y \in B$ tenemos$\{y\} = g(y) = f(y) = \{y\} \cap \mathrm{im}(h)$, por lo tanto$y \in \mathrm{im}(h)$. QED.
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