Functores y coberturas

Question

Una categoría $C$ puede verse como un espacio topológico a través de la realización geométrica del nervio de la categoría. Entonces un functor de categorías da un mapa de espacios. ¿Existe una buena caracterización categórica de cuándo los funtores dan mapas de cobertura en el lado topológico (es decir, el mapa es un homeomorfismo local)?

Answer 1

Los recubrimientos de los groupoides se describen, por ejemplo, en un libro antiguo http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/gz.pdf .

La condición en un funtor de grupo C' -> C es que para cualquier flecha f en C y un objeto x en C' que se lleva a la fuente o al objetivo de f por el funtor dado, hay un levantamiento único de f en C' con la fuente o respectivamente el objetivo x. Para funtores entre categorías la condición será la misma. (En el caso de los groupoides, de hecho, basta con que la condición se cumpla sólo para las fuentes o para los objetivos).

Añadiré que, como se ha dicho, la realización geométrica de una categoría pasa por el functor nervio. El functor nervio es totalmente fiel, mientras que los conjuntos simpliciales que surgen como nervios se caracterizan por la condición de Segal. Los funtores de recubrimiento son los que se llevan a recubrimientos de conjuntos simpliciales. Estos últimos están caracterizados en el libro de Gabriel-Zisman. Entonces la condición anterior para que un funtor sea un recubrimiento se obtiene fácilmente utilizando la condición de Segal.

Answer 2

Creo que la naturaleza homotópica del functor espacio clasificador es tal que no es razonable que devuelva un espacio de cobertura real cuando se aplica a un functor. Por ejemplo, si tuviéramos un functor $f: C \to D$ donde $Bf: BC \to BD$ era una cubierta, y luego se sustituyó $C$ por una categoría equivalente $C'$ se obtendría una equivalencia de homotopía $BC \simeq BC'$ pero sería poco probable que $BC' \to BD$ es en sí misma una cobertura.

Creo que lo más parecido que se puede esperar es que para un functor $f: C \to D$ el mapa $Bf: BC \to BD$ es una cuasifibración con fibras homotópicas que son homotópicamente equivalentes a los espacios discretos. Lo llamaré "espacio de cobertura hasta la homotopía".

Recordemos las hipótesis de Quillen Teorema B para cualquier morfismo $d' \to d$ el mapa inducido de los espacios clasificatorios de las categorías de comas $B (d' \setminus f) \to B(d \setminus f)$ es una equivalencia; si este es el caso, entonces el mapa $Bf: BD \to BC$ es un cuasifibrado con fibra $B(d \setminus f)$ .

Así que para obtener un espacio de cobertura hasta la homotopía, bastaría con suponer que se cumplen las hipótesis del Teorema B, y que todas las categorías de comas $d \setminus f$ son todos equivalentes a conjuntos (es decir, categorías con sólo los morfismos de identidad). Entonces sus espacios clasificadores son homotópicamente discretos.

Answer 3

Puede encontrar una discusión muy agradable sobre esta cuestión en el comienzo del documento de Quillen sobre la teoría K algebraica superior (Lecture Notes in Math #371). Quillen describe la categoría de espacios de cobertura de BC como la categoría de funtores de "morfismo-inversión" de C a conjuntos. Para ello utiliza resultados de Gabriel-Zisman (véase la respuesta de Dimitri Chikhladze a esta misma cuestión). La idea aproximada es que un funtor de C a conjuntos describe las fibras discretas (isomorfas) sobre cada símplex cero en BC y entonces la construcción de Grothendieck (colímite de homotopía en el sentido de la tesis de Thomason) aplicada a este funtor construye realmente un espacio de cobertura.

Answer 4

Siguiendo con la respuesta de Dimitri, la primera vez que me encontré con morfismos de cobertura de groupoides fue en el artículo

Higgins, P.J. "Presentaciones de groupoides, con aplicaciones a grupos". Proc. Cambridge Philos. Soc. \60 (1964) 7--20.

y están bien presentados en su libro Categorías y groupoides . De hecho, aparecieron antes en el periódico

Smith, P.A. "El complejo de un grupo relativo a un conjunto de generadores. I". Anuario de Matemáticas . (2) 54 (1951) 371--402.

bajo el nombre de "morfismo regular".

Una forma de exponer la teoría de los espacios de cobertura de un espacio $X$ es dar condiciones sobre $X$ de modo que un morfismo de cobertura particular de los groupoides $p: G \to \pi_1 X$ está determinada por un mapa de cobertura $q:Y \to X$ donde $Y$ es un topologizado $Ob(G)$ .

9 de marzo: añado que la categoría de morfismos de recubrimiento del grupúsculo $G$ es equivalente a la categoría de acciones de $G$ en juegos; así que uno puede elegir cuál de ellos encuentra mejor para un uso o aplicaciones particulares. Desde 1967, me gusta modelar una cubierta mapa por una cubierta morfismo como hicieron Gabriel y Zisman para los mapas simpliciales.

Puede encontrar un tratamiento completo de la teoría de los espacios de cobertura utilizando morfismos de cobertura de los groupoides en el libro Topología y Groupoides que amplía un poco el tratamiento de la edición de 1968.