¿Hay una prueba directa y sencilla del Teorema del Mapeo Abierto a partir del Teorema de Acotación Uniforme?

Question

El Teorema de la Aplicación Abierta, el Teorema del Inverso Acotado y el Teorema del Grafo Cerrado son teoremas equivalentes en el sentido de que cualquiera de ellos puede obtenerse fácilmente a partir de cualquiera de los otros. El Teorema del Grafo Cerrado también implica fácilmente el Teorema de la Acotación Uniforme. Pero ¿hay alguna manera simple de obtener cualquiera de los otros tres resultados a partir de la Acotación Uniforme, o es la Acotación Uniforme realmente un resultado de "nivel inferior" que los demás?

Answer 1

No sé si considerarás esto "simple", pero aquí hay una prueba. Lo extraje del Manual de Análisis y sus Fundamentos de Eric Schechter, el cual tiene una prueba de una afirmación más general en el 27.35. La última parte es de Análisis Real de Folland, Teorema 5.10.

Supongamos que $X,Y$ son espacios de Banach y $T : X \to Y$ es sobreyectiva. Queremos demostrar que $T$ es abierta. Sea $B$ la bola unidad abierta de $X$; basta con demostrar que $T(B)$ contiene un vecindario del 0 en $Y.

El primer paso es mostrar que el cierre $\overline{T(B)}$ contiene un vecindario del 0. El método habitual es usar el teorema de la categoría de Baire: si no, entonces $Y = \bigcup_{n=1}^\infty n \overline{T(B)}$ lo que significa que $Y$ es escaso. En su lugar, utilizaremos el principio de la acotación uniforme.

Para cada $n$, construyamos una nueva norma $\|\cdot\|_n$ en $Y$ definida por $$\|y\|_n := \inf\{\|u\|_X+n\|v\|_Y : u \in X, v \in Y, v+Tu=y\}.\tag{*}$$ Es sencillo verificar que esta es una norma. Ahora sea $Z$ una suma directa numerable de copias de $Y$, es decir, $Z$ es el espacio vectorial de todas las funciones de soporte finito $f : \mathbb{N} \to Y$, con la suma por puntos y multiplicación por escalares. Dotemos a $Z$ con la norma $$\|f\|_Z := \sup_n \|f(n)\|_n.$$ Entonces para cada $n$, definimos un operador lineal $S_n : Y \to Z$ como $(S_n y)(n) = y$ y $(S_n y)(k) = 0$ para $k \ne n$. Observa que $\|S_n y\|_Z = \|y\|_n.

Ahora al tomar $u=0$, $v=y$ en (*), obtenemos $\|y\|_n \le n \|y\|_Y$, por lo que cada $S_n$ está acotado. Además, por la sobreyectividad de $T$, para cada $y \in Y$ existe $x \in X$ con $Tx=y$. Tomando $u=x$ y $v=0$ en (*) vemos que $\| y\|_n \le \|x\|_X$ independientemente de $n$; por lo tanto, $\{S_n\}$ está acotado puntualmente. Con el teorema de la acotación uniforme, hay una constante $C < \infty$ tal que $\|S_n\|_{Y \to Z} \le C$ para todo $n.

Elige $\delta < 1/C$. Afirmo que $\overline{T(B)}$ contiene una bola de radio $\delta$ centrada en 0. Supongamos que $\|y\|_Y < \delta$; entonces $$\|y\|_n = \|S_n y\|_Z \le \|S_n\|_{Y \to Z} \|y\|_Y \le C \delta < 1$$ para cada $n. Por lo tanto, para cada $n$ existe $u_n \in X$, $v_n \in Y$ con $y = v_n + T u_n$ y $\|u_n\|_X + n\|v_n\|_Y < 1$. En particular, $\|v_n\|_Y < 1/n$, por lo que tenemos $T u_n \to y$ donde $u_n \in B$. Así que $y \in \overline{T(B)}$ y la prueba de este paso está completa.

El resto de la prueba procede de forma habitual. Podemos mostrar que $T(B)$ contiene una bola de radio $\delta/2$ centrada en 0. Supongamos que $\|y\|_Y < \delta/2$, por lo que por el primer paso y escalamiento, $y \in \overline{T(B_{1/2})}$. Por lo tanto, existe un $x_1$ con $\|x_1\|_{X} < \frac{1}{2}$ y $\|y - Tx_1\|_Y < \delta/4$. Repitiendo este proceso inductivamente, construimos $x_n$ con $\|x_n\|_X < 2^{-n}$ y $\left\| y - \sum_{k=1}^n Tx_k\right\|_Y < \delta 2^{-(n+1)}$. Por lo tanto, $\sum_{k=1}^\infty T x_k$ converge en $Y$ hacia $y$. Sumando una serie geométrica, $\sum_{k=1}^\infty \|x_k\| < 1$, así que por la completitud de $X$, $\sum_{k=1}^\infty x_k$ converge en $X$ hacia un $x$ con $\|x\|_X < 1$. Y por la continuidad de $T$, $Tx=y$. Así que hemos demostrado que $y \in T(B).

Observa que esta prueba funciona incluso si $Y$ no es Banach, siempre y cuando el principio de la acotación uniforme se cumpla en $Y. Esto sucede si $Y$ es barrilado, y de hecho la prueba en Schecheter muestra que tanto la acotación uniforme como la aplicación abierta son equivalentes a ser barrilado.