Propiedades de anillos que tienen una descripción elegante en cuanto a la categoría asociada de módulos

Question

Supongamos que %-%-% es un anillo. A continuación, %-%-% resulta ser un anillo de división si cada módulo de % izquierdo es libre. (Ver aquí para las pruebas). Creo que esto es muy hermoso; ¿Qué otras propiedades de los anillos tienen una descripción elegante en términos de la categoría asociada (concreta) de módulos?

Answer 1

Aquí está la explicación a ese link:

Sabemos que %-%-% como %-%-%.

Por lo tanto, si tenemos en cuenta %-%-% y observamos que %-%-% es coprime a %-%-%, entonces %-%-%

Y así es como consiguió que %-%-% es divisible por %-%-% iff %-%-% es divisible por %-%-%. Y esto permite que ese bloguero se deshaga de un dígito, más o menos, en cada paso para verificar fácilmente la divisibilidad.

Answer 2

Para un anillo %-%-%, las siguientes sentencias son equivalentes:

(i) %-%-% es semisíz;

(ii) Cada módulo izquierdo (o a la derecha) %-se desaconsejó;

(iii) Cada módulo izquierdo (o derecho) %-%es inyectable;

(iv) Cada módulo de %-%izquierdo (o de la derecha) es proyectivo.

Answer 3

Si %-%-% es un dominio integral, todos los factores ideales se convierten en primos si y solo si cada submódulo de un módulo proyectivo es proyectivo.