Si $K = \frac{2}{1}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{100}{99}.$, Entonces el valor de $\lfloor K \rfloor$

Question

Deje $K = \frac{2}{1}\times \frac{4}{3}\times \frac{6}{5}\times \frac{8}{7}\times \cdots \times \frac{100}{99}.$, Entonces ¿cuál es el valor de $\lfloor K \rfloor$ donde $\lfloor x \rfloor$ es la función del suelo?

Mi Intento:

Al excluir los poderes de $2$, podemos escribir

$$ \begin{align} K &= 2^{50}\times \left(\frac{1} {1}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{7}\times \frac{5}{9}\times\cdots\times \frac{49}{97}\times \frac{50}{99}\right)\\ &= 2^{50}\cdot 2^{25}\times \left(\frac{1\cdot 3 \cdot 5\cdots49}{1\cdot 3 \cdot 5\cdots 49}\right)\times \left(\frac{1}{51\cdot 53\cdot 55\cdots99}\right)\\ &= \frac{2^{75}}{51\cdot 53\cdot 55\cdots99} \end{align} $$

Cómo puedo solucionar para $K$ a partir de aquí?

Answer 1

Tenga en cuenta que esta respuesta no es completamente rigurosa, pero era demasiado divertido para pasar.

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$$K^2 = 101 \cdot \frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 100 \cdot 100}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 99 \cdot 101}$$

Ahora, $$\frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \dots}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots} = \pi / 2$$

(Esto se conoce como el Wallis producto)

Por lo $K$ es de aproximadamente $\sqrt{101 \pi / 2}$ $\lfloor K \rfloor = 12$

Answer 2

Tenga en cuenta que $K = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdots 100 \cdot 100}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 99 \cdot 100} = \dfrac{2^{100}(50!)^2}{100!} = \dfrac{2^{100}}{\dbinom{100}{50}}$

Se puede demostrar que la Central Binomio Coefficent satisface:

$\left(1-\dfrac{1}{8n}\right)\dfrac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}} \le \dbinom{2n}{n} \le \dfrac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\dfrac{1}{9n}\right)$

para todos los $n \ge 1$.

Por lo tanto, $12.56105 \approx \dfrac{450}{449}\sqrt{50\pi} \le \dfrac{2^{100}}{\dbinom{100}{50}} \le \dfrac{400}{399}\sqrt{50\pi} \approx 12.56456$

Por lo tanto, $\lfloor K \rfloor = 12$.

Answer 3

Estoy seguro de que esta respuesta no es riguroso, pero tal vez alguien lo puede ser.

Mediante la manipulación de los factoriales tenemos $$\frac{1}{K}=\frac{1}{2^{100}}\binom{100}{50}=P(X\,{=}\,50)\ ,$$ donde $X$ es una variable aleatoria binomial con $n=100$$p=\frac{1}{2}$. La aproximación de $X$ por una variable aleatoria normal $Y$ en la forma habitual, tenemos $Y\sim N(50,5^2)$, por lo que $$\frac{1}{K}\approx P(49.5\,{<}\,Y\,{<}\,50.5)=P(-0.1\, {<}\Z\,{<}\,0.1) \approx0.0796\ .$$ Por lo tanto $$K\approx12.56$$ y por lo $\lfloor K\rfloor=12$.

Answer 4

Yo no podía llegar en cualquier idea de obtener la respuesta analítica. Así que me escribió el programa de matlab de la siguiente formato de rata Inicial=1 i=1; count=0; mientras i<100, Inicial = Inicial*(i+1)/i; i=i+2; count=count+1; una(cuenta+1)= Inicial; end;

La respuesta después de 12 pisos en el resultado final.

Answer 5

Si queremos hacer el problema más general y escribir $$\displaystyle K_n = \frac{2}{1}\times \frac{4}{3}\times \frac{6}{5}\times \frac{8}{7}\times \cdots \times \frac{2n}{2n-1}$$ the numerator is $2^n \Gamma (n+1)$ and the denominator is $\frac{2^n \Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi }}$. So, $$K_n=\frac{\sqrt{\pi } \Gamma (n+1)}{\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}$$

Teniendo en cuenta esta expresión para valores grandes de a $n$, entonces tenemos $$K_n=\sqrt{\pi } \sqrt{n}+\frac{1}{8} \sqrt{\pi } \sqrt{\frac{1}{n}}+\frac{1}{128} \sqrt{\pi } \left(\frac{1}{n}\right)^{3/2}-\frac{5 \sqrt{\pi } \left(\frac{1}{n}\right)^{5/2}}{1024}+S\left(\left(\frac{1}{n}\right)^3\right)$$ which implies $$\lfloor K_n \rfloor =\lfloor \sqrt{\pi n} \rfloor$$ which is verified for any value of $n \gt 5$.