¿Cuál es el límite de $n \sin (2 \pi \cdot e \cdot n!)$ como $$ n tiende a infinito?

Question

He intentado y me esta

$$e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$$ $$n!\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=\frac{n!}{0!}+\frac{n!}{1!}+\cdots+\frac{n!}{n!}=m$$ donde $m$ es un número entero. $$\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi es!)=\lim_{n\to\infty}n\sin\left(2\pi n!\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)=\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi m)=\lim_{n\to\infty}n\cdot0=0$$

Es correcto?

Answer 1

(Añadido fix recomendado por Craig en los comentarios, y reescritura completa para mayor claridad.)

Haremos uso de las siguientes: $\lim_{x\rightarrow 0} {\frac{\sin x}{x}}=1$.

Lema: Si $\{x_n\}$ es una secuencia (de valores distintos de cero) que converge a $0$, entonces $$\lim_{n\rightarrow\infty}{n \sin{x_n}} = \lim_{n\rightarrow\infty} nx_n$$

Prueba: Reescribir $n\sin{x_n} = n x_n \frac{\sin{x_n}}{x_n}$. El lema de la siguiente manera desde $\sin{x_n}/x_n \rightarrow 1$ por encima.

Ahora, vamos a $[[x]]$ la parte fraccionaria de $x$. Deje de $e_n = [[n!e]]$.

Lema: Por $n>1$, $e_n\(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n-1})$

Prueba: $$n!e = K + \sum_{m=n+1}^\infty \frac{n!}{m.}$$

Donde $K$ es un número entero.

Pero por $m>n$, $\frac{n!}{m.} = \frac{1}{(n+1)(n+2)...m} < n^{n-m}$.

Por lo que $$\frac{1}{n+1}<\sum_{m=n+1}^\infty \frac{n!}{m.} < \sum_{m=n+1}^\infty n^{n-m} = \sum_{k=1}^\infty n^{-k}$$

Pero el lado derecho es una serie geométrica cuya suma es de $\frac{1}{n-1}$.

Por lo que $n!e-K\(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n-1})$, y, desde $K$ es un número entero, debe ser de $e_n=n!e-K$.

Teorema: $\lim_{n\rightarrow \infty} n \sin(2\pi n! e) = 2\pi$

Prueba: Por la periodicidad de $\sin$, $\sin(2\pi n! e) = \sin(2\pi e_n)$.

Dejando de $x_n = 2\pi e_n$, vemos que, desde nuestro primer lema:

$$\lim n \pecado x_n = \lim n x_n$$

Pero $nx_n = 2\pi ne_n$, y, desde $ne_n\(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n-1})$, vemos que $ne_n\rightarrow 1$. Así, nuestro límite es de $2\pi$.

Answer 2

Para dar $n\geq2$ uno tiene $$e\cdot n!=n!\sum_{k=0}^\infty{1\over k!}=n!\a la izquierda(\sum_{k=0}^n{1\over k!}+\sum_{k=n+1}^\infty{1\over k!}\right)=m_n+r_n$$ con $m_n\in{\mathbb Z}$ y $${1\over n+1}<r_n={1\over n+1}+{1\over (n+1)(n+2)}+\ldots<{1\over n}+{1\over n^2}+\ldots<{1\over n-1}\ .$$ Desde $$a_n:=n\>\sin\left(2\pi\cdot e\cdot n!\right)=n\>\sin(2\pi r_n)=n\ \ 2\pi r_n\ {\sin(2\pi r_n)\más de 2\pi r_n}$$ y $r_n\to 0$ se deduce que $$\lim_{n\to\infty}a_n=2\pi\lim_{n\to\infty}\bigl(n\> r_n\bigr)=2\pi\ .$$