subconjuntos de grupos que tienen que estar cerrados sea como sea

Question

Un ejemplo de subconjunto de un grupo $G$ que tiene que ser cerrado en cualquier topología sobre $G$ compatible con las operaciones del grupo es un centralizador. ¿Hay algún otro ejemplo interesante?

Answer 1

Los subconjuntos de un grupo que son cerrados con respecto a cualquier topología de grupo de Hausdorff se llaman cerrado incondicionalmente .

Evidentemente, todos los algebraico conjuntos son incondicionalmente cerrados, donde un subconjunto de un grupo $G$ se llama algebraico si es una intersección de uniones finitas de los conjuntos de soluciones de algunas ecuaciones con coeficiente de $G$ .

A.A.Markov demostró que para los grupos contables lo contrario también es cierto: $$ \hbox{unconditionally closed = algebraic}. $$ En el caso de los grupos incontables, esto no siempre es así, como se desprende de los trabajos de S. Shelah (en CH) y G. Hesse.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, más bien una observación más larga (y no muy profunda) sobre la cuestión de la topología y la suposición de que debe ser Hausdorff.

No toda topología que hace de un grupo un grupo topológico es Hausdorff. Pero a cualquier grupo topológico podemos asociar un grupo topológico de Hausdorff de forma canónica. Sea $G$ sea un grupo topológico y denote por $H$ el cierre de $\{e\}$ . Entonces $H$ es un subgrupo normal en $G$ y el grupo cociente $G/H$ es Hausdorff con respecto a la topología del cociente. Véase la Proposición 1-4 (vi) en la página 6 de Ramakrishnan y Valenza, Fourier analysis on number field, 1999.

Basándose en este resultado, Ramakrishnan y Valenza escriben "La parte (vi) muestra que todo grupo topológico se proyecta mediante un homomorfismo continuo sobre un grupo topológico con topología de Hausdorff. En este sentido, la suposición de que un grupo dado es Hausdorff no es demasiado grave".

Sin embargo, la suposición juega un papel importante en la pregunta de Rupert. Porque, si tomamos la topología trivial $\mathcal{O}=\{\emptyset,G\}$ El $H=G$ y $G/H$ es el grupo trivial. Por cierto, el ejemplo de la topología trivial muestra que la respuesta a la pregunta (si no requerimos Hausdorff) es fácil: $G$ y el conjunto vacío son los únicos subconjuntos que son cerrados en cualquier topología sobre $G$ que hace que $G$ un grupo topológico.