Análisis

Question

<blockquote> <p>Evaluar la relación de integral<span class="math-container">%-%-%$</span></p> </blockquote> <p>Usando Wolframalpha, descubrí que la relación de las dos integrales anteriores es <span class="math-container">%-%-%</span>, es decir, independiente de <span class="math-container">%-%-%</span>. No se me ocurrió una forma de resolverlo.</p> <p>No creo que ninguna sustitución simple funcione aquí. Cualquier consejo útil sería apreciado.</p>

Answer 1

Nota

<span class="math-container">\begin{align} \frac{I_1}{I_2}&=1+ \frac{I_1-I_2}{I_2} \ &=1+\frac1{I_2}\int_0^{\frac\pi2} \left( \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}}- \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}} \right)dx \ &=1+\frac1{I_2}\int_0^{\frac\pi2} \frac{\sqrt{\sqrt{\sin^nx+\cos^nx}+\sqrt{\cos^nx}} - \sqrt{\sqrt{\sin^nx+\cos^nx}-\sqrt{\cos^nx}}}{\sqrt[4]{\sin^nx+\cos^nx}}dx \ &=1+\frac1{I_2} \int_0^{\frac\pi2} \frac{\sqrt{2\sqrt{\sin^nx+\cos^nx}-2\sqrt{\sin^nx}} }{\sqrt[4]{\sin^nx+\cos^nx}}dx \ &= 1+\frac{\sqrt2}{I_2} \int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\cot^nx}}}dx>>>>>>>>(x\to \frac\pi2-x)\ &=1+\frac{\sqrt2}{I_2}\int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^nx}}}dx \ &=1+\sqrt2 \ \end</span>